Какова вероятность того, что доля студентов, сдавших в срок все экзамены из 2000, будет находиться в пределах от 0,66

Suslik

64

Для решения данной задачи воспользуемся неравенством Чебышева, которое дает оценку для вероятности отклонения случайной величины от своего математического ожидания.

Неравенство Чебышева гласит, что для любого положительного числа \( k \), вероятность того, что случайная величина \( X \) отклоняется от своего математического ожидания \( \mu \) не более, чем на \( k \) стандартных отклонений, не превышает \( \frac{1}{k^2} \).

В этой задаче нашей случайной величиной будет доля студентов, сдавших в срок все экзамены из 2000.

Предположим, что \( X \) обозначает долю студентов, сдавших в срок, и мы хотим найти вероятность того, что \( X \) находится в пределах от 0,66 до 0,74.

Математическое ожидание случайной величины \( X \) можно найти как отношение количества студентов, сдавших в срок, к общему числу студентов, то есть \( \mu = \frac{2000}{2000} = 1 \).

Теперь найдем стандартное отклонение случайной величины \( X \). Стандартное отклонение можно вычислить по формуле \( \sigma = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} \), где \( p \) - доля студентов, сдавших в срок, и \( n \) - общее число студентов.

В нашем случае \( p = 1 \) (так как все студенты сдали в срок) и \( n = 2000 \), поэтому \( \sigma = \sqrt{\frac{1(1-1)}{2000}} = 0 \). Так как стандартное отклонение равно нулю, что означает отсутствие вариации, вероятность находится в пределах от 0,66 до 0,74 будет равна 1.

Таким образом, вероятность того, что доля студентов, сдавших в срок все экзамены из 2000, будет находиться в пределах от 0,66 до 0,74, исходя из неравенства Чебышева, равна 1.