Какова вероятность того, что из 12 ручек, выбранных наугад, 3 окажутся синими

Пушик

22

Хорошо! Для решения этой задачи, нам необходимо найти вероятность выбора 3 синих ручки из общего количества 12 ручек.

Первым шагом давайте определим общее количество возможных комбинаций, которые могут быть выбраны из 12 ручек. Это можно сделать с помощью формулы комбинаторики. Количество комбинаций находится по формуле:

\[
C(n, k) = \frac{{n!}}{{k!(n-k)!}}
\]

где \( C(n, k) \) представляет собой количество комбинаций из \( n \) предметов, выбранных \( k \) раз.

В данной задаче, нам нужно выбрать 3 синие ручки из 12. Таким образом, мы можем использовать формулу для нахождения количества комбинаций \( C(12, 3) \).

Давайте подставим значения в формулу:

\[
C(12, 3) = \frac{{12!}}{{3!(12-3)!}} = \frac{{12!}}{{3! \cdot 9!}}
\]

Далее, нам необходимо найти количество возможных комбинаций выбора 3 синих ручек из общего количества синих ручек. Предположим, что у нас есть 5 синих ручек. Тогда, мы можем использовать формулу комбинаторики еще раз, чтобы найти количество комбинаций \( C(5, 3) \).

Подставим значения в формулу:

\[
C(5, 3) = \frac{{5!}}{{3!(5-3)!}}
\]

Теперь, чтобы найти вероятность, что из 12 ручек, выбранных наугад, 3 окажутся синими, мы должны разделить количество комбинаций выбора 3 синих ручек на общее количество комбинаций из 12 ручек:

\[
\text{{Вероятность}} = \frac{{C(5, 3)}}{{C(12, 3)}}
\]

Давайте вычислим:

\[
\text{{Вероятность}} = \frac{{\frac{{5!}}{{3!(5-3)!}}}}{{\frac{{12!}}{{3! \cdot 9!}}}}
\]

\[
= \frac{{5! \cdot 3! \cdot 9!}}{{3! \cdot 9! \cdot 12!}}
\]

Сокращаем факториалы:

\[
= \frac{{5!}}{{3! \cdot 12!}}
\]

\[
= \frac{{5 \cdot 4 \cdot 3!}}{{3! \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9!}}
\]

Сокращаем факториалы снова:

\[
= \frac{{5 \cdot 4}}{{12 \cdot 11 \cdot 10}}
\]

\[
= \frac{{20}}{{1320}}
\]

\[
= \frac{{1}}{{66}}
\]

Таким образом, вероятность того, что из 12 ручек, выбранных наугад, 3 окажутся синими, составляет \( \frac{{1}}{{66}} \).