Какова вероятность того, что из 225 случайно отобранных изделий 180 будут стандартными, если вероятность случайно

Кузнец

39

Для решения данной задачи нам потребуется применение биномиального распределения. Биномиальное распределение используется для моделирования случайных экспериментов, в которых есть только два возможных исхода (в данном случае изделие может быть стандартным или нестандартным), и вероятность каждого исхода остается постоянной для каждого измерения.

Для начала, давайте определим некоторые параметры. Пусть \(n\) будет общим количеством отобранных изделий (в нашем случае 225), а \(k\) будет количеством стандартных изделий (в нашем случае 180). Вероятность выбора стандартного изделия обозначим буквой \(p\) (в нашем случае 0,8).

Теперь мы можем использовать формулу биномиального распределения для расчета вероятности:

\[P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n-k}\]

Где \(C(n, k)\) обозначает число сочетаний из \(n\) по \(k\) (то есть число способов выбрать комбинацию из \(k\) элементов из общего числа \(n\) элементов). Формула для \(C(n, k)\) выглядит следующим образом:

\[C(n, k) = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}\]

где \(n!\) обозначает факториал числа \(n\).

Итак, подставляя значения из нашей задачи, получаем:

\[P(X = 180) = C(225, 180) \cdot 0.8^{180} \cdot (1 - 0.8)^{225-180}\]

Вычислить число сочетаний \(C(225, 180)\) можно с помощью формулы факториала:

\[C(225, 180) = \frac{225!}{180! \cdot (225-180)!}\]

Теперь давайте вычислим значения:

\[
\begin{align*}
C(225, 180) &= \frac{225!}{180! \cdot (225-180)!} \\
&= \frac{225!}{180! \cdot 45!}
\end{align*}
\]

Используя эти значения, мы можем рассчитать вероятность:

\[
\begin{align*}
P(X = 180) &= C(225, 180) \cdot 0.8^{180} \cdot (1 - 0.8)^{225-180} \\
&= \frac{225!}{180! \cdot 45!} \cdot 0.8^{180} \cdot 0.2^{45}
\end{align*}
\]

Теперь вычислим это значение.