Какова вероятность того, что наудачу извлечённая деталь из первого ящика окажется стандартной, после того

Загадочный_Кот

11

Давайте решим эти задачи по порядку.

Задача 1: Какова вероятность того, что наудачу извлечённая деталь из первого ящика окажется стандартной, после того как из второго ящика наудачу извлечена одна деталь и переложена в первый ящик?

Пусть событие A - наудачу извлечённая деталь из первого ящика является стандартной. Чтобы решить эту задачу, нам нужно применить теорию вероятностей.

Пусть B - наудачу извлечённая деталь из второго ящика является стандартной.

Первоначально в первом ящике было \(n\) деталей, и их все можно разделить на два непересекающихся множества: стандартные и нестандартные детали. Обозначим количество стандартных деталей в первом ящике за \(m\). Таким образом, вероятность наудачу извлечённой детали из первого ящика, являющейся стандартной, равна \(\frac{m}{n}\).

Далее, когда одна деталь из второго ящика добавляется в первый ящик, количество деталей в первом ящике увеличивается на 1, а количество стандартных деталей также увеличивается (если добавленная деталь была стандартной). Обозначим новое количество деталей в первом ящике за \(n"\), а новое количество стандартных деталей за \(m"\).

Если нам известно, что добавленная деталь из второго ящика была стандартной, то вероятность события A после добавления будет равна \(\frac{m"+1}{n"+1}\).

Теперь, чтобы узнать вероятность события A, нам нужно знать вероятность события B, то есть вероятность того, что наудачу извлечённая деталь из второго ящика является стандартной.

Предположим, что в первом ящике было \(n\) деталей, из которых \(k\) являются стандартными, и во втором ящике было \(m\) деталей, из которых \(l\) являются стандартными. Если деталь из второго ящика выбрана наудачу и перекладывается в первый ящик, вероятность того, что выбранная деталь станет стандартной в первом ящике, будет равна \(\frac{k+l}{n+m}\).

Таким образом, вероятность события A после перекладывания детали из второго ящика в первый будет равна:
\[P(A) = \frac{m"+1}{n"+1} = \frac{\frac{m(m+1)+1}{n+1}}{\frac{(n+1)(m+1)}{n+1}} = \frac{m(m+1)+1}{(n+1)(m+1)} = \frac{m}{n+1}\]
Ответ: \(P(A) = \frac{m}{n+1}\).

Задача 2: Какова вероятность того, что будут выбраны 2 мальчика и 2 девочки из группы туристов, в которой 6 мальчиков и 5 девочек, при выборе четырех дежурных по жребию?

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать комбинаторику. Обозначим количество способов выбрать 2 мальчиков из 6 за \(C(6, 2)\), а количество способов выбрать 2 девочки из 5 за \(C(5, 2)\). Общее количество способов выбрать 4 дежурных из группы, состоящей из 11 человек, равно \(C(11, 4)\).

Теперь мы можем выразить вероятность P, используя эти значения. Вероятность выбора 2 мальчиков и 2 девочек из группы туристов будет равна:
\[P = \frac{C(6, 2) \cdot C(5, 2)}{C(11, 4)}\]

Заметим, что \(C(n, k)\) можно выразить как \(\frac{n!}{k!(n-k)!}\), где \(n!\) обозначает факториал числа \(n\).

Теперь подставим значения и рассчитаем вероятность:
\[P = \frac{\frac{6!}{2!4!} \cdot \frac{5!}{2!3!}}{\frac{11!}{4!7!}} = \frac{\frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} \cdot \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1}}{\frac{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}} = \frac{15 \cdot 10}{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 2} = \frac{15}{99}\]

Ответ: \(P = \frac{15}{99}\).

Я надеюсь, что мои подробные объяснения помогли вам понять решение данных задач. Если у вас возникнут ещё вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.