Решите уравнение, используя замену переменной x^2+6/x - 5x/x^2+6=4

Золотой_Лорд

28

Хорошо, давайте решим это уравнение с помощью замены переменной.

Пусть \(y = \frac{{x^2 + 6}}{{x}}\). Тогда уравнение примет вид:

\[\frac{{y - 5x}}{{y + 6}} = 4\]

Нам нужно решить это уравнение относительно переменной \(y\). Для начала упростим левую часть:

\[y - 5x = 4(y + 6)\]

Раскроем скобки:

\[y - 5x = 4y + 24\]

Теперь сгруппируем все переменные \(y\) и все числа \(x\):

\[y - 4y = 24 + 5x\]

\[-3y = 5x + 24\]

Далее, упростим правую часть уравнения:

\[-3y = 5x + 24\]

Перенесём члены уравнения так, чтобы переменная \(y\) осталась слева:

\[3y = -5x - 24\]

Теперь разделим обе части уравнения на 3:

\[y = \frac{{-5x - 24}}{3}\]

Таким образом, мы получили выражение для переменной \(y\).

Далее, вспомним, что мы ввели замену: \(y = \frac{{x^2 + 6}}{{x}}\).

Подставим это выражение обратно в уравнение и решим его:

\[\frac{{x^2 + 6}}{{x}} = \frac{{-5x - 24}}{3}\]

Умножим обе части уравнения на \(3x\), чтобы избавиться от знаменателя:

\[3(x^2 + 6) = -5x - 24\]

Раскроем скобки:

\[3x^2 + 18 = -5x - 24\]

Приравняем все члены уравнения к нулю:

\[3x^2 + 5x + 42 = 0\]

Теперь мы получили квадратное уравнение, которое нужно решить. Для этого воспользуемся формулой дискриминанта:

\[D = b^2 - 4ac\]

где \(a = 3\), \(b = 5\), и \(c = 42\). Вычислим значение дискриминанта:

\[D = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot 42 = 25 - 504 = -479\]

Поскольку дискриминант отрицательный, уравнение не имеет рациональных корней.

Таким образом, решений уравнения, заданного в условии, нет.