Какова вероятность того, что не менее восьми хозяйств из 200 в области пострадают от града, основываясь на том

Luna_V_Oblakah

40

Чтобы решить данную задачу с использованием интегральной теоремы Муавра-Лапласа, нам нужно вычислить вероятность того, что от града пострадает не менее восьми хозяйств из 200, при условии, что одно из 50 хозяйств уже претерпело ущерб от града.

Для начала, давайте определим среднее значение "успеха", которое является вероятностью того, что отдельное хозяйство пострадает от града. Мы знаем, что одно из 50 хозяйств уже претерпело ущерб, поэтому вероятность "успеха" равна 1/50, или 0.02.

Затем нам нужно найти стандартное отклонение "успеха". Для этого мы используем формулу: \(\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\), где \(p\) - вероятность "успеха", а \(n\) - количество испытаний. В данном случае \(p = 0.02\) и \(n = 200\). Подставляя значения в формулу, получаем: \(\sqrt{\frac{0.02(1-0.02)}{200}}\), что примерно равно \(0.01414\).

Теперь мы готовы использовать интегральную теорему Муавра-Лапласа для нахождения искомой вероятности. Формула для этой теоремы выглядит следующим образом: \(P(X \geq k) = 1 - \Phi\left(\frac{k-np}{\sqrt{np(1-p)}}\right)\), где \(X\) - количество "успехов", \(k\) - минимальное количество "успехов", \(n\) - количество испытаний, \(p\) - вероятность "успеха", а \(\Phi\) - функция стандартного нормального распределения.

В нашем случае, мы хотим найти вероятность того, что не менее восьми хозяйств (\(k = 8\)) пострадают от града. Подставляя значения в формулу, получаем: \(P(X \geq 8) = 1 - \Phi\left(\frac{8-200\cdot0.02}{\sqrt{200\cdot0.02(1-0.02)}}\right)\).

Чтобы решить это численно, нам понадобится использовать таблицу значений функции стандартного нормального распределения. По таблице найдем значение соответствующее \(\frac{8-200\cdot0.02}{\sqrt{200\cdot0.02(1-0.02)}}\), которое равно примерно -0.97045. После этого, найдем значение стандартной нормальной функции распределения для этого значения, которое равно примерно 0.16644.

Теперь, подставим найденные значения в исходную формулу: \(P(X \geq 8) = 1 - 0.16644\).

Вычислив это выражение, мы получим искомую вероятность. Ответ округляется до ближайшего значения: \(P(X \geq 8) \approx 0.8336\).

Таким образом, вероятность того, что не менее восьми хозяйств из 200 в области пострадают от града, основываясь на том, что за последний год одно из 50 хозяйств претерпело ущерб от града, составляет примерно 0.8336 или около 83.36%.