Какова вероятность того, что ни одна из 5000 лампочек не перегорит в течение первого дня эксплуатации? Какова

Ярослава

34

Для решения этой задачи нам понадобится использовать понятие вероятности. Вероятность события можно определить как отношение числа благоприятных исходов к общему числу возможных исходов.

1. Вероятность того, что ни одна из 5000 лампочек не перегорит в течение первого дня эксплуатации:
Для того чтобы ни одна из лампочек не перегорела, каждая из 5000 лампочек должна работать в течение всего дня. Пусть вероятность того, что одна лампочка не перегорит, равна \(p\). Тогда вероятность того, что ни одна из лампочек не перегорит, можно найти как произведение вероятностей каждой лампочки:

\[P(\text{ни одна перегорит}) = p \cdot p \cdot p \cdot \ldots \cdot p = p^{5000}\]

Так как каждая лампочка независима от других, значение \(p\) одинаково для каждой лампочки.

2. Вероятность того, что ровно две лампочки перегорят в течение первого дня:
Для решения этой задачи нам понадобятся комбинаторные методы. Число способов выбрать 2 лампочки из 5000 равно \(\binom{5000}{2}\). Вероятность того, что каждая выбранная лампочка перегорит, равна \(p^2\), а вероятность того, что каждая из оставшихся 4998 лампочек не перегорит, равна \(p^{4998}\). Так как выбор каждой пары происходит независимо, мы должны перемножить эти значения:

\[P(\text{ровно 2 перегорят}) = \binom{5000}{2} \cdot p^2 \cdot p^{4998}\]

Теперь давайте вычислим численное значение вероятностей.

Расчитаем вероятность для первого случая. Предположим, что вероятность того, что одна лампочка не перегорит, равна 0.99.

\[P(\text{ни одна перегорит}) = 0.99^{5000} \approx 0.0067\]

Таким образом, вероятность того, что ни одна из 5000 лампочек не перегорит в течение первого дня эксплуатации, примерно равна 0.0067 или 0.67%.

Теперь рассчитаем вероятность для второго случая. Аналогично предположим, что вероятность того, что одна лампочка не перегорит, также равна 0.99.

\[P(\text{ровно 2 перегорят}) = \binom{5000}{2} \cdot (0.99^2) \cdot (0.99^{4998}) \approx 0.082\]

Таким образом, вероятность того, что ровно две из 5000 лампочек перегорят в первый день, примерно равна 0,082 или 8,2%.

Важно отметить, что вероятность может зависеть от предположения о вероятности перегорания одной лампочки, поэтому реальная вероятность может отличаться в зависимости от конкретной ситуации.