Какова вероятность того, что случайно выбранная точка А в квадрате со стороной 10 м находится на расстоянии не меньше

Sobaka_2748

16

Для решения данной задачи нам потребуется определить область вероятностей для случайно выбранной точки А в квадрате.

Итак, пусть сторона квадрата равна 10 м. Мы хотим найти вероятность того, что выбранная точка А окажется на расстоянии не меньше 50 см от ближайшей стороны квадрата.

Давайте подойдем к этой задаче в обратную сторону и рассмотрим вероятность того, что выбранная точка А находится на расстоянии меньше 50 см от ближайшей стороны. При этом, откроем квадрат на стороне L (в нашем случае L = 10 м) и посмотрим, какую площадь она занимает внутри.

Мы знаем, что расстояние от выбранной точки А до ближайшей стороны должно быть меньше 50 см. Так как сторона квадрата равна 10 м, длина стороны на 50 см меньше составляет 9,5 метра. Изобразим это на рисунке:

\[
\begin{array}{|c|}
\hline
9.5 \\
\hline
\end{array}
\]

Теперь нужно посмотреть, какая площадь занимают допустимые точки А внутри квадрата. Эту площадь можно найти, вычтя из полной площади квадрата площадь зоны, где точка А не может находиться.

Зона, где каждая точка А находится на расстоянии меньше 50 см от ближайшей стороны, образует полосу шириной 50 см вокруг внешнего края квадрата. Рассмотрим это на рисунке:

\[
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
9.5 & & 9.5 \\
\hline
& \textbf{10} & \\
\hline
9.5 & & 9.5 \\
\hline
\end{array}
\]

Площадь этой полосы составит ширину умножить на длину каждого отрезка, отмеченного на рисунке. То есть, \(50 \, \text{см} \times 10 \, \text{м}\) (переведем сантиметры в метры для удобства):

\[0.5 \, \text{м} \times 10 \, \text{м} = 5 \, \text{м}^2\]

Теперь вычтем эту площадь полосы из полной площади квадрата:

\[S_{\text{внутри}} = S_{\text{полный}} - S_{\text{полосы}} = 100 \, \text{м}^2 - 5 \, \text{м}^2 = 95 \, \text{м}^2\]

Таким образом, площадь области внутри квадрата, где может находиться выбранная точка А, составляет 95 квадратных метров.

Наконец, чтобы найти искомую вероятность, необходимо разделить площадь области внутри квадрата на полную площадь квадрата:

\[P = \frac{S_{\text{внутри}}}{S_{\text{полный}}} = \frac{95 \, \text{м}^2}{100 \, \text{м}^2}\]

Упростив эту дробь, получаем:

\[P = \frac{19}{20} = 0.95 = 95\%\]

Таким образом, вероятность того, что случайно выбранная точка А в квадрате со стороной 10 м находится на расстоянии не меньше 50 см от ближайшей стороны квадрата, равна 95%.