Какова вероятность того, что среди 10 коробок будет не менее 8 коробок, в которых нет бракованных деталей, если каждая

Вадим

12

Для решения данной задачи мы можем воспользоваться биномиальным распределением.

Дано:
n = 10 (количество коробок)
p = 0.1 (вероятность брака для каждой детали)

Мы хотим найти вероятность того, что среди 10 коробок будет не менее 8 коробок без бракованных деталей. Заметим, что количество коробок без бракованных деталей будет принимать значения 8, 9 или 10.

Для нахождения вероятности можно воспользоваться формулой биномиального распределения:

\[P(X = k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\]

где P(X = k) - вероятность того, что в точности k испытаний (или в данном случае коробок) пройдут успешно,
C_n^k - количество сочетаний из n элементов по k,
p^k - вероятность успеха в каждом из k испытаний (без брака в данном случае),
(1-p)^{n-k} - вероятность неудачи в каждом из (n-k) испытаний (с браком в данном случае).

Используя формулу биномиального распределения, мы можем вычислить вероятность для каждого значения k (8, 9 и 10), а затем сложить эти вероятности, чтобы получить искомую вероятность.

Решение пошагово:

Шаг 1: Рассмотрим случай, когда ровно 8 коробок без брака:
\[P(X = 8) = C_{10}^8 \cdot 0.1^8 \cdot (1-0.1)^{10-8}\]
\[P(X = 8) = \frac{10!}{8! \cdot (10-8)!} \cdot 0.1^8 \cdot (0.9)^2\]

Шаг 2: Рассмотрим случай, когда ровно 9 коробок без брака:
\[P(X = 9) = C_{10}^9 \cdot 0.1^9 \cdot (1-0.1)^{10-9}\]
\[P(X = 9) = \frac{10!}{9! \cdot (10-9)!} \cdot 0.1^9 \cdot (0.9)^1\]

Шаг 3: Рассмотрим случай, когда все 10 коробок без брака:
\[P(X = 10) = C_{10}^{10} \cdot 0.1^{10} \cdot (1-0.1)^{10-10}\]
\[P(X = 10) = \frac{10!}{10! \cdot (10-10)!} \cdot 0.1^{10} \cdot (0.9)^0\]

Шаг 4: Теперь сложим вероятности для каждого значения k:
\[P(X \geq 8) = P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10)\]

Результат:
\[P(X \geq 8) = P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10)\]

Таким образом, вычислив значения шаг за шагом, мы можем получить точное значение искомой вероятности.

Пожалуйста, поправьте меня, если я сделал ошибку в своих вычислениях или если у вас возникли дополнительные вопросы.