Какова вероятность того, что Юра, Боря и Егор окажутся в разных подгруппах после случайного разделения 15-членной

Musya

2

Для решения данной задачи, нам потребуется применить комбинаторику и понять, сколько всего различных вариантов разделения 15 членов на 3 равные группы есть. Затем, мы посчитаем количество благоприятных исходов, когда Юра, Боря и Егор окажутся в разных группах. После этого, разделим количество благоприятных исходов на общее количество вариантов и получим искомую вероятность.

Первым шагом рассмотрим все возможные варианты разделения 15 членов на три равные группы. Мы можем представить это как размещение 15 членов по комбинации этих групп. Для этого воспользуемся формулой сочетаний:

\[C_{n}^{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\]

где \(C_{n}^{k}\) обозначает количество способов выборки k элементов из n без учета порядка.

В нашем случае, n = 15 (общее количество членов в группе) и k = 5 (количество членов, которые будут составлять одну подгруппу из трех).

Применяя эту формулу, мы можем рассчитать количество возможных вариантов разделения 15 членов на три равные группы:

\[
C_{15}^{5} = \frac{15!}{5!(15-5)!} = \frac{15!}{5!10!} = 3003
\]

Таким образом, у нас есть 3003 различных варианта разделения группы на три подгруппы.

Теперь давайте посчитаем количество благоприятных исходов, когда Юра, Боря и Егор окажутся в разных группах. У нас есть 3 способа выбрать, в какую из трех групп будет попадать Юра. После этого у нас остаются 10 членов, 5 из которых будут составлять вторую группу, и 5 - третью группу.

Таким образом, количество благоприятных исходов:

\(3 \times C_{10}^{5} \times 1\)

где 1 обозначает количество способов выбрать одного из оставшихся двух членов для оставшейся группы.

Рассчитаем количество благоприятных исходов:

\(3 \times C_{10}^{5} \times 1 = 3 \times \frac{10!}{5!(10-5)!} \times 1 = 3 \times \frac{10!}{5!5!} = 3 \times 252 = 756\)

Итак, у нас есть 756 благоприятных исходов, когда Юра, Боря и Егор окажутся в разных группах.

Наконец, мы можем найти искомую вероятность, разделив количество благоприятных исходов на общее количество вариантов разделения:

\(\frac{756}{3003} \approx 0.251\)

Таким образом, вероятность того, что Юра, Боря и Егор окажутся в разных подгруппах, составляет примерно 0.251 или 25.1%.