Какова вероятность того, что только один вагон окажется на своем месте, если на сортировочной платформе есть

Zvezda

15

Для решения данной задачи нам необходимо применить принципы комбинаторики и рассмотреть все возможные случаи размещения вагонов на специализированных местах.

В этой задаче у нас есть 4 специализированных места и 4 вагона. Мы хотим найти вероятность того, что только один вагон окажется на своем месте. Чтобы найти эту вероятность, нам нужно сначала выяснить, сколько всего существует способов разместить вагоны на местах.

Общий случай для данной задачи можно решить с использованием перестановок с повторениями. Перестановка с повторениями - это элемент комбинаторики, которая позволяет нам определить, сколько способов существует для распределения объектов по некоторым местам, когда некоторые объекты их сортирую в сложные группы, и некоторые объекты исключены из групп.

В данной задаче у нас есть только одна ситуация, при которой только один вагон окажется на своем месте: это когда остальные 3 вагона окажутся на неправильных местах. Посчитаем, сколько существует способов для такой ситуации.

Всего у нас есть 4 вагона, и мы должны выбрать один вагон, который окажется на своем месте. Это можно сделать 4 способами.

После этого остается 3 вагона, которые должны быть размещены на оставшихся 3 местах неправильно. Для этого мы можем использовать перестановки с повторениями. Так как каждый вагон может быть размещен на любом из оставшихся 3 мест, у нас есть 3 возможных варианта для каждого вагона.

Итак, всего возможных комбинаций для одного вагона на своем месте составляет \(4 \times 3 \times 3 \times 3 = 108\).

Теперь нам нужно найти общее количество возможных комбинаций для размещения всех 4 вагонов на 4 местах. В этом случае мы можем использовать также перестановку с повторениями, так как вагоны представляют собой объекты, которые могут быть размещены на местах, причем некоторые объекты являются идентичными.

Таким образом, общее количество возможных комбинаций для всех 4 вагонов составляет \(4 \times 4 \times 4 \times 4 = 256\).

Теперь мы можем вычислить вероятность того, что только один вагон окажется на своем месте. Для этого нам нужно разделить количество успешных комбинаций (108) на общее количество комбинаций (256):

\[
P = \frac{108}{256} = \frac{27}{64}
\]

Таким образом, вероятность того, что только один вагон окажется на своем месте, равна \(\frac{27}{64}\).