Какова вероятность того, что за год перегорит одна или две лампочки в гирлянде?

Весенний_Ветер

46

Для решения этой задачи нам необходимо знать две важные величины: вероятность перегорания одной лампочки в гирлянде за год и общее количество лампочек в гирлянде. Пусть вероятность перегорания одной лампочки составляет \(p\), а общее количество лампочек равно \(n\).

Чтобы определить вероятность того, что за год перегорит одна лампочка, нам нужно знать количество способов, которыми лампочки могут перегореть. Так как одна лампочка в гирлянде может перегореть, а остальные останутся работать, то у нас есть \(n\) способов выбрать лампочку, которая перегорит. Каждый из этих способов имеет вероятность \(p\) (перегорания выбранной лампочки) и вероятность \((1-p)\) (остальные лампочки работают).

Таким образом, вероятность перегорания одной лампочки в гирлянде составляет \(P_1 = n \cdot p \cdot (1-p)^{n-1}\).

Аналогично, чтобы определить вероятность того, что за год перегорят две лампочки, нам нужно знать количество способов, которыми это может произойти. Варианты такого перегорания можно разделить на два случая: случай, когда первая лампочка перегорает и вторая лампочка остается работать, и случай, когда первая лампочка остается работать, а вторая лампочка перегорает. Оба случая имеют вероятность \(p\) (перегорания одной лампочки) и вероятность \((1-p)\) (остальные лампочки работают). Так как всего возможностей выбора двух лампочек равно \(\binom{n}{2}\) (количество сочетаний из \(n\) по 2), получаем вероятность перегорания двух лампочек:

\[P_2 = \binom{n}{2} \cdot p^2 \cdot (1-p)^{n-2}\].

Таким образом, мы нашли вероятности перегорания одной и двух лампочек в гирлянде. Ответ на задачу о вероятности того, что за год перегорит одна или две лампочки, будет суммой этих вероятностей:

\[P_{\text{одна или две}} = P_1 + P_2\].