Какова масса каждого металла в сплаве, состоящем из цинка, алюминия, меди и олова, если олово и медь составляют

Огонь

3

Чтобы решить данную задачу, нам необходимо сначала составить систему уравнений, определяющих соотношение масс каждого металла в сплаве.

Пусть масса цинка в сплаве равна \( x \) (в граммах), масса алюминия - \( y \) (в граммах), масса меди - \( z \) (в граммах) и масса олова - \( w \) (в граммах).

Согласно условию задачи, олово и медь составляют 2/3 общей массы сплава. Мы можем записать это в виде уравнения:
\[ w + z = \frac{2}{3}(x + y + z + w) \]

Также, цинк и олово составляют 3/4 общей массы сплава:
\[ x + w = \frac{3}{4}(x + y + z + w) \]

Наконец, олово и алюминий составляют 3/5 общей массы вазы, равной 7 целым:
\[ w + y = \frac{3}{5}(x + y + z + w) \]

У нас есть три уравнения с тремя неизвестными: \( x \), \( y \) и \( z \). Мы можем решить эту систему уравнений для определения масс каждого металла.

Решим систему уравнений последовательно. Приступим к первому уравнению:
\[ w + z = \frac{2}{3}(x + y + z + w) \]

Раскроем скобки:
\[ w + z = \frac{2}{3}x + \frac{2}{3}y + \frac{2}{3}z + \frac{2}{3}w \]

Упростим выражение, перенеся все слагаемые с переменными на одну сторону уравнения:
\[ \frac{1}{3}x + \frac{1}{3}y - \frac{1}{3}z - \frac{1}{3}w = 0 \]

Мы можем умножить это уравнение на 3, чтобы избавиться от дробей:
\[ x + y - z - w = 0 \]

Получили первое уравнение в упрощенной форме.

Теперь приступим ко второму уравнению:
\[ x + w = \frac{3}{4}(x + y + z + w) \]

Раскроем скобки:
\[ x + w = \frac{3}{4}x + \frac{3}{4}y + \frac{3}{4}z + \frac{3}{4}w \]

Упростим выражение, перенеся все слагаемые с переменными на одну сторону уравнения:
\[ \frac{1}{4}x - \frac{1}{4}y - \frac{1}{4}z + \frac{1}{4}w = 0 \]

Умножим это уравнение на 4 для избавления от дробей:
\[ x - y - z + w = 0 \]

Получили второе уравнение в упрощенной форме.

Наконец, решим третье уравнение:
\[ w + y = \frac{3}{5}(x + y + z + w) \]

Раскроем скобки:
\[ w + y = \frac{3}{5}x + \frac{3}{5}y + \frac{3}{5}z + \frac{3}{5}w \]

Упростим выражение, перенеся все слагаемые с переменными на одну сторону уравнения:
\[ -\frac{2}{5}x - \frac{2}{5}y + \frac{2}{5}z + \frac{2}{5}w = 0 \]

Умножим это уравнение на 5 для избавления от дробей:
\[ -2x - 2y + 2z + 2w = 0 \]

Получили третье уравнение в упрощенной форме.

Теперь у нас есть система уравнений:
\[
\begin{align*}
x + y - z - w &= 0 \\
x - y - z + w &= 0 \\
-2x - 2y + 2z + 2w &= 0 \\
\end{align*}
\]

Решим эту систему уравнений с помощью метода подстановки или метода сложения/вычитания.

Возьмем первое уравнение и решим его относительно \(x\):
\[ x = z + w - y \]

Теперь подставим это выражение во второе и третье уравнения:
\[
\begin{align*}
(z + w - y) - y - z + w &= 0 \\
-2(z + w - y) - 2y + 2z + 2w &= 0 \\
\end{align*}
\]

Упростим эти уравнения:
\[
\begin{align*}
2w - 2y &= 0 \\
-2z + 2w - 4y &= 0 \\
\end{align*}
\]

Решим первое уравнение относительно \(w\):
\[ w = y \]

Теперь подставим это выражение во второе уравнение:
\[
-2z + 2(y) - 4y = 0
\]

Упростим это уравнение и решим относительно \(z\):
\[ -2z + 2y - 4y = 0 \]
\[ -2z - 2y = 0 \]
\[ -2(z + y) = 0 \]
\[ z + y = 0 \]

Заметим, что полученное уравнение показывает, что сумма масс олова и меди равна нулю. Это означает, что масса олова равна минус массы меди.

Теперь можем выразить массу каждого металла через переменную \(w\), так как мы уже знаем, что \(w = y\):
\[ x = z + w - y = z + y - y = z \]
\[ y = w \]
\[ z = -y \]

То есть:
\[ x = z = -y \]
\[ w = y \]

Мы получили, что масса цинка (\(x\)) равна массе олова (\(z\)), которая в свою очередь равна минус массе меди (\(y\)), а масса алюминия (\(y\)) равна массе олова (\(w\)).

Таким образом, массы каждого металла в сплаве можно выразить следующим образом:
Масса цинка (\(x\)) = Масса олова (\(z\)) = \(-\) Масса меди (\(y\))
Масса алюминия (\(y\)) = Масса олова (\(w\))

Но нам не хватает численных данных, чтобы определить конкретные значения масс металлов. Если мы знаем общую массу сплава, то мы можем решить систему уравнений и найти значения масс каждого металла.

Предположим, что общая масса сплава равна 7 целым. Подставим это значение в одно из уравнений, например в первое уравнение:
\[ x + y - z - w = 0 \]
\[ x + y - (-y) - y = 0 \]
\[ x + 3y = 0 \]

Так как у нас есть две переменные (\(x\) и \(y\)) и только одно уравнение, нельзя определить конкретные значения масс каждого металла без дополнительной информации. Будьте внимательны, и вам все удастся!