Какова вероятность выхода из строя прибора, когда не менее пяти ламп I типа и не менее двух ламп II типа сгорели

  • 15
Какова вероятность выхода из строя прибора, когда не менее пяти ламп I типа и не менее двух ламп II типа сгорели, и известно, что вероятности перегорания ламп I и II типов составляют 0,7 и 0,3 соответственно? (События выхода из строя ламп являются независимыми.)
Zagadochnyy_Paren_9173
32
Для решения данной задачи нам потребуется применить понятие вероятности с использованием формулы для вычисления вероятности независимых событий.

Дано, что вероятность перегорания лампы I типа составляет 0,7, а лампы II типа - 0,3.

Мы должны определить вероятность выхода из строя прибора, когда сгорают не менее 5 ламп I типа и не менее 2 ламп II типа.

Пусть событие А - "Сгорели не менее 5 ламп I типа", а событие В - "Сгорели не менее 2 ламп II типа".

Для вычисления вероятности каждого события, необходимо учитывать, что данные события являются независимыми.

Вероятность события А - вероятность, что в приборе перегорят не менее 5 ламп I типа. С учетом независимости ламп, вероятность перегорания одной лампы I типа равна 0,7. Соответственно, вероятность, что одна лампа I типа не перегорит, составляет (1 - 0,7) = 0,3.

Таким образом, вероятность того, что из 5 ламп I типа не перегорит ни одна, можно вычислить, умножив вероятности независимых событий:

\[
P(A) = 0,3 \cdot 0,3 \cdot 0,3 \cdot 0,3 \cdot0,3 = 0,3^5
\]

Аналогично, вероятность события В - вероятность, что в приборе перегорят не менее 2 ламп II типа, равна:

\[
P(B) = 0,7 \cdot 0,7 \cdot 0,3 \cdot 0,3 = 0,7^2 \cdot 0,3^2
\]

Для определения вероятности события "выход из строя прибора" необходимо учесть, что данное событие означает выполнение условий и события А и события В, то есть в приборе должно перегореть не менее 5 ламп I типа и не менее 2 ламп II типа. При этом, согласно условию, события А и В являются независимыми.

Вероятность события "выход из строя прибора" может быть рассчитана как произведение вероятности события А и события В:

\[
P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)
\]

Подставим значения вероятностей событий А и В в формулу:

\[
P(A \cap B) = 0,3^5 \cdot 0,7^2 \cdot 0,3^2
\]

Таким образом, вероятность выхода из строя прибора, когда сгорают не менее 5 ламп I типа и не менее 2 ламп II типа, составляет \(0,3^5 \cdot 0,7^2 \cdot 0,3^2\). Произведение можно упростить, используя арифметические операции, и получить окончательный ответ.