Какова высота движущегося потока воды в канале, если на каждый квадратный метр площади дна действует сила 0.63

Черная_Роза_6660

22

Для решения данной задачи воспользуемся законом сохранения массы для движущегося потока жидкости.

Рассмотрим элементарный слой воды толщиной dx на расстоянии x от дна канала. Для этого объема воды справедливо уравнение непрерывности:

\[Q_1=A_1 v_1=Q_2=A_2 v_2,\]

где \(Q_1\) и \(Q_2\) – объемы жидкости, проходящие за единицу времени через площади дна \(A_1\) и \(A_2\) соответственно, \(v_1\) и \(v_2\) – скорости движения верхних слоев воды над дном на соответствующих уровнях.

Так как на каждый квадратный метр действует сила 0.63 мН и атмосферное давление не учитывается, можем записать:

\[\frac{{F_1}}{{A_1}}=\frac{{F_2}}{{A_2}},\]

где \(F_1\) и \(F_2\) – силы, действующие на площади дна \(A_1\) и \(A_2\) соответственно.

\(F_1=\rho_1 g h_1 A_1\) и \(F_2=\rho_2 g h_2 A_2\), где \(\rho_1\) и \(\rho_2\) – плотности воды на уровнях \(h_1\) и \(h_2\) соответственно, \(g\) – ускорение свободного падения.

Таким образом, уравнение можно записать в виде:

\[\frac{{\rho_1 g h_1}}{{\rho_2 g h_2}}=\frac{{A_2}}{{A_1}}.\]

Мы знаем, что \(\rho_1=\rho_2=\rho\) (плотность воды в данном случае одинакова), поэтому уравнение принимает вид:

\[\frac{{h_1}}{{h_2}}=\frac{{A_2}}{{A_1}}.\]

Площадь поверхности дна канала \(A_1=S_1\), а площадь поверхности воды на уровне \(h_2\) равна \(A_2=S(h_2)\), где \(S(h_2)\) – площадь сечения канала на высоте \(h_2\).

Поскольку сечение канала можно представить в виде прямоугольника со сторонами \(b\) и \(h_2\), где \(b\) – ширина канала, получим:

\[S(h_2)=bh_2.\]

Таким образом, уравнение принимает вид:

\[\frac{{h_1}}{{h_2}}=\frac{{bh_2}}{{S_1}}.\]

Теперь рассмотрим произвольную точку \(x\) на высоте \(h_2\) от дна канала. Скорость жидкости в этой точке \(v(x)\) определим с использованием закона сохранения энергии:

\[v(x)=\sqrt{{2gh(x)}},\]

где \(g\) – ускорение свободного падения, \(h(x)\) – расстояние от дна канала до точки \(x\) на высоте \(h_2\).

Так как скорость верхних слоев воды составляет 0.5 м/с, то \(v_1=0.5\) м/с.

Полагая, что параметры вязкости воды (η) не учитываются, получаем:

\[v_1=v(x)=\sqrt{{2gh(x)}}.\]

Отсюда можем выразить \(h(x)\):

\[h(x)=\frac{{v_1^2}}{{2g}}.\]

Таким образом, определили зависимость высоты \(h(x)\) от скорости верхних слоев воды на высоте \(h_2\).

Теперь найдём высоту движущегося потока воды в канале.

По условию задачи, скорость верхних слоев воды составляет 0.5 м/с и постепенно убывает до 0 у дна, поэтому можем записать:

\[h(x)=\frac{{0.5^2}}{{2g}}=\frac{{0.25}}{{2g}}.\]

Значение ускорения свободного падения \(g \approx 9.8\) м/с².

Теперь подставим все значения в формулу и выразим высоту движущегося потока воды \(h_2\):

\[\frac{{h_1}}{{h_2}}=\frac{{bh_2}}{{S_1}}.\]

\[h_2=\frac{{h_1S_1}}{{bh_2}}.\]

\[h_2=\frac{{0.25S_1}}{{2gh_2}}.\]

\[h_2^2=\frac{{0.25S_1}}{{2g}}.\]

\[h_2=\sqrt{{\frac{{0.25S_1}}{{2g}}}}.\]

Таким образом, высота движущегося потока воды в канале равна:

\[h_2=\sqrt{{\frac{{0.25S_1}}{{2g}}}}.\]

Подставив значения параметров \(S_1\) и \(g\), получим окончательный ответ.