Какова высота и образующая конуса, если угол между основанием и образующей составляет 60 градусов, а радиус основания

Arina

11

Радиус основания конуса, обозначим его как \(r\), дан. Угол между основанием и образующей составляет 60 градусов.

Шаг 1: Найдем высоту конуса.

Для начала, нам понадобится триугольник, образованный радиусом \(r\), образующей \(l\) и высотой \(h\), где \(l\) - это гипотенуза, а \(h\) - это катет.

Шаг 2: Используя тригонометрический соотношение, можем записать формулу для нахождения высоты конуса:

\[
\sin(\text{{угол}}) = \frac{{\text{{противоположный катет}}}}{{\text{{гипотенуза}}}}
\]

Так как нам дан угол и катет (высота), мы можем переписать формулу:

\[
\sin(60^\circ) = \frac{h}{l}
\]

Шаг 3: Найдем гипотенузу \(l\).

Гипотенуза конуса связана с радиусом и образующей по теореме Пифагора:

\[
l = \sqrt{r^2 + h^2}
\]

Шаг 4: Подставим значение гипотенузы в формулу из шага 2:

\[
\sin(60^\circ) = \frac{h}{\sqrt{r^2 + h^2}}
\]

Шаг 5: Решим полученное уравнение для \(h\).

Упростим выражение, возвести обе части уравнения в квадрат:

\[
\left( \sin(60^\circ) \right)^2 = \frac{h^2}{r^2 + h^2}
\]

\[
\frac{3}{4} = \frac{h^2}{r^2 + h^2}
\]

Умножим обе части уравнения на \(r^2 + h^2\):

\[
\frac{3}{4}(r^2 + h^2) = h^2
\]

\[
3r^2 + 3h^2 = 4h^2
\]

\[
3r^2 = h^2
\]

Из полученного уравнения можно выразить \(h\) через \(r\):

\[
h = \sqrt{3}r
\]

Теперь, когда мы знаем выражение для высоты \(h\), мы можем найти образующую \(l\), используя теорему Пифагора из шага 3:

\[
l = \sqrt{r^2 + (\sqrt{3}r)^2} = \sqrt{r^2 + 3r^2} = \sqrt{4r^2} = 2r
\]

Таким образом, высота конуса равна \(\sqrt{3}r\), а образующая равна \(2r\).

Ответ: Высота конуса равна \(\sqrt{3}r\), а образующая равна \(2r\).