Найдите функцию f(x), для которой f(x) является антипроизводной функции tg 4x на интервале (-п/9

Милочка_469

34

Для начала, давайте найдем производную функции tg(4x). Используя формулу производной для функции тангенса, получим:

\[f"(x) = \frac{d}{dx} \left( \tan(4x) \right) = 4 \sec^2(4x)\]

Теперь, чтобы найти функцию \(f(x)\), которая является антипроизводной функции \(\tan(4x)\), мы можем проинтегрировать производную \(f"(x)\):

\[f(x) = \int f"(x) \, dx = \int (4 \sec^2(4x)) \, dx\]

Для проинтегрирования это можно решить с помощью нескольких методов, таких как замена переменной или интегрирование по частям. В данном случае, мы можем использовать замену переменной.

Пусть \(u = 4x\), тогда \(du = 4 \, dx\) или, по-другому, \(dx = \frac{1}{4} \, du\).

Теперь заменим переменные в нашем интеграле:

\[f(x) = \int (4 \sec^2(4x)) \, dx = \int \sec^2(u) \, \frac{1}{4} \, du\]

Используя интеграл \(\int \sec^2(u) \, du = \tan(u) + C\), где \(C\) - постоянная интегрирования, получим:

\[f(x) = \frac{1}{4} \tan(u) + C\]

Теперь нужно заменить \(u\) обратно на \(4x\):

\[f(x) = \frac{1}{4} \tan(4x) + C\]

Где \(C\) является произвольной постоянной.

Итак, функция \(f(x)\), для которой \(f(x)\) является антипроизводной функции \(\tan(4x)\), на интервале \((- \frac{\pi}{9}, \frac{\pi}{9})\), имеет вид:

\[f(x) = \frac{1}{4} \tan(4x) + C\]

Где \(C\) - произвольная постоянная.