Какова высота правильной треугольной пирамиды с основанием длиной 240 дм, при условии, что боковое ребро образует угол

Orel

57

Чтобы решить эту задачу, нам понадобится использовать геометрические свойства треугольной пирамиды и тригонометрию. Давайте начнём с построения простой схемы:


У нас есть правильная треугольная пирамида с основанием, состоящим из равностороннего треугольника. При этом, одно из боковых рёбер образует угол 30° с плоскостью основания.

Посмотрим на боковую грань пирамиды:


Как видно из схемы, поворачиваем треугольник $ABC$ (разворачиваем его в плоскость основания) и получаем треугольник $A"BC$.

Углы $ABC$ и $BAC$ равны между собой, так как они являются соответственными углами. Поэтому, \(\angle ABC = 30^\circ\).

Разберёмся с размерами сторон.

Так как основание пирамиды - это равносторонний треугольник, все его стороны равны. Обозначим длину каждой стороны основания треугольника через \(a\). Тогда, \(AB = BC = CA = a\).

Поскольку треугольник $ABC$ равносторонний, он также является равноугольником, и углы \(ABC\), \(BCA\) и \(CAB\) каждый равен 60°.

Обозначим высоту пирамиды через \(h\). Тогда, по теореме Пифагора, получаем:

\[BB" = BC \sin(\angle ABC) = a \sin(30^\circ) = \frac{a}{2}.\]

Теперь возьмем правильный треугольник $AB"C"$:


Мы знаем, что \(AB" = a\), \(AC" = \frac{a}{2}\) и \(B"C" = h\).

Так как угол \(B"AC"\) прямой, мы можем использовать теорему Пифагора еще раз:

\[(AB")^2 = (AC")^2 + (B"C")^2.\]

Подставляем значения и решаем уравнение:

\[a^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + h^2.\]

Далее, решаем это уравнение относительно \(h\):

\[a^2 = \frac{a^2}{4} + h^2.\]

Умножаем обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от дроби:

\[4a^2 = a^2 + 4h^2.\]

Вычитаем \(a^2\) из обеих частей:

\[3a^2 = 4h^2.\]

Делим обе части на 4:

\[h^2 = \frac{3a^2}{4}.\]

И, наконец, извлекаем квадратный корень из обеих частей:

\[h = \sqrt{\frac{3a^2}{4}} = \frac{a}{2} \sqrt{3}.\]

Таким образом, высота этой треугольной пирамиды равна \(\frac{a}{2} \sqrt{3}\), где \(a\) - длина стороны основания пирамиды.

Для данной задачи, длина стороны основания равна 240 дм, поэтому:

\[h = \frac{240}{2} \sqrt{3} = 120 \sqrt{3}\] дм.

Ответ: Высота треугольной пирамиды равна \(120 \sqrt{3}\) дм.