Какова высота, проведенная к более длинной стороне треугольника, если известно, что длины сторон треугольника равны

Ябеда

14

Давайте начнем с разделения треугольника на два прямоугольных треугольника, используя высоту, проведенную к более короткой стороне.

Пусть сторона, к которой проведена высота, равна 14 см.

Тогда мы можем разделить треугольник на два прямоугольных треугольника ABC и ABD, где AB - основание, равное 14 см, BC - длинная сторона треугольника, равная 34 см, и BD - высота, проведенная к стороне BC.

Мы можем применить теорему Пифагора к обоим треугольникам:

В прямоугольном треугольнике ABC:
\[AC^2 = AB^2 + BC^2\]
\[AC^2 = 14^2 + 34^2\]
\[AC^2 = 196 + 1156\]
\[AC^2 = 1352\]
\[AC = \sqrt{1352}\]
\[AC \approx 36,77 см\]

Отметим, что AC - это гипотенуза треугольника ABC, и BC - это катет.

В прямоугольном треугольнике ABD:
Так как BD - это высота, проведенная к стороне BC, BD и AC перпендикулярны. Поэтому, используя свойства прямоугольных треугольников, мы можем сказать, что площади треугольников ABC и ABD относятся как их соответствующие катеты:
\[\frac{S_{ABD}}{S_{ABC}} = \frac{BD}{AC}\]

Площадь треугольника ABC равна:
\[S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC\]
\[S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 34\]
\[S_{ABC} = 238\]

Для треугольника ABD нам нужно найти площадь и высоту BD. Длина базы BD известна, она равна 14 см. Мы можем использовать формулу площади треугольника, в которую входит его высота:
\[S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BD\]

В итоге получаем:
\[\frac{S_{ABD}}{S_{ABC}} = \frac{BD}{AC}\]
\[\frac{S_{ABD}}{238} = \frac{14}{36,77}\]

Домножим обе стороны на 238:
\[S_{ABD} = \frac{14}{36,77} \cdot 238\]
\[S_{ABD} \approx 90,88 см^2\]

Теперь нам нужно найти высоту BD. Для этого воспользуемся ранее найденной формулой площади треугольника ABD:
\[90,88 = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot BD\]

Домножим обе стороны на 2 и разделим на 14:
\[181,76 = BD \cdot 14\]
\[BD \approx \frac{181,76}{14}\]
\[BD \approx 12,98 см\]

Таким образом, высота, проведенная к более длинной стороне треугольника, равна примерно 12,98 см.