Какова высота, проведенная к большей стороне параллелограмма, если его диагонали равны 2 и 6 корня из 2, а угол между

Гоша_3705

30

Для решения этой задачи, давайте воспользуемся свойством параллелограмма: высота, проведенная к большей стороне параллелограмма, равна длине этой же стороны.

У нас даны диагонали параллелограмма: 2 и 6 корня из 2. Давайте обозначим их как \(d_1\) и \(d_2\) соответственно.

Также нам известно, что угол между диагоналями составляет 45 градусов. Обозначим его как \(\theta\).

Мы можем использовать косинусный закон для нахождения значения большей стороны параллелограмма. Косинус угла \(\theta\) равен отношению суммы квадратов диагоналей и удвоенного произведения этих диагоналей:

\[\cos(\theta) = \frac{{d_1^2 + d_2^2 - 2 \cdot d_1 \cdot d_2 \cdot \cos(\theta)}}{{2 \cdot d_1 \cdot d_2}}\]

Подставим известные значения в данное уравнение:

\[\cos(45^\circ) = \frac{{2^2 + (6 \sqrt{2})^2 - 2 \cdot 2 \cdot 6 \sqrt{2} \cdot \cos(45^\circ)}}{{2 \cdot 2 \cdot 6 \sqrt{2}}}\]

Теперь решим данное уравнение:

\[\frac{{4 + 72 - 24 \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}}{{24 \sqrt{2}}} = \frac{{76 - 24 \sqrt{2}}}{{24 \sqrt{2}}} = \frac{{19 - 6 \sqrt{2}}}{{6 \sqrt{2}}}\]

Для удобства, умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{2}\):

\[\frac{{(19 - 6 \sqrt{2}) \cdot \sqrt{2}}}{{6 \sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}} = \frac{{19 \sqrt{2} - 6 \cdot 2}}{{12}} = \frac{{19 \sqrt{2} - 12}}{{12}}\]

Таким образом, мы получили, что \(\cos(45^\circ) = \frac{{19 \sqrt{2} - 12}}{{12}}\).

Так как у нас есть значение косинуса угла \(\theta\) и длина диагоналей, мы можем найти длину большей стороны параллелограмма, используя косинусный закон:

\(d_1 = \frac{{d_1^2 + d_2^2 - 2 \cdot d_1 \cdot d_2 \cdot \cos(\theta)}}{{2 \cdot d_2}}\)

Подставим известные значения:

\(d_1 = \frac{{2^2 + (6 \sqrt{2})^2 - 2 \cdot 2 \cdot 6 \sqrt{2} \cdot \frac{{19 \sqrt{2} - 12}}{{12}}}}{{2 \cdot 6 \sqrt{2}}}\)

Выполним расчеты:

\(d_1 = \frac{{4 + 72 - 24 \sqrt{2} \cdot \frac{{19 \sqrt{2} - 12}}{{12}}}}{{12 \sqrt{2}}}\)

\(d_1 = \frac{{76 - 24 \cdot 2 \cdot \frac{{19 - \frac{{12}}{{\sqrt{2}}}}}}{{12 \sqrt{2}}}}\)

\(d_1 = \frac{{76 - 48 \cdot \left(19 - \frac{{12}}{{\sqrt{2}}}}\right)}}{{12 \sqrt{2}}}\)

\(d_1 = \frac{{76 - 48 \cdot 19 + 48 \cdot \frac{{12}}{{\sqrt{2}}}}}{{12 \sqrt{2}}}\)

\(d_1 = \frac{{-352 + 48 \cdot \frac{{12}}{{\sqrt{2}}}}}{{12 \sqrt{2}}}\)

\(d_1 = \frac{{-352 + 96 \sqrt{2}}}{{12 \sqrt{2}}}\)

Теперь мы можем упростить эту дробь:

\(d_1 = \frac{{-8 + 2 \sqrt{2}}}{{\sqrt{2}}}\)

Поделим числитель и знаменатель на \(\sqrt{2}\):

\(d_1 = \frac{{-8\sqrt{2} + 2 \cdot 2}}{{1}}\)

\(d_1 = -8\sqrt{2} + 4\)

Таким образом, мы получили, что высота, проведенная к большей стороне параллелограмма, равна \(-8\sqrt{2} + 4\).