Какова высота равностороннего треугольника, у которого радиус описанной окружности равен

Aleksandrovna

8

Для решения данной задачи, нам потребуется использовать связь между радиусом описанной окружности и высотой равностороннего треугольника.

Для начала, вспомним основное свойство равностороннего треугольника. У такого треугольника все стороны равны, а все углы равны 60 градусам.

Радиус описанной окружности \( R \) равно отрезку, проведенному от центра окружности до любой вершины треугольника. Пусть \( A \) - это вершина треугольника, а \( O \) - центр описанной окружности.

Прежде всего, рассмотрим треугольник \( OAB \), который образуется радиусом описанной окружности и двумя радиусами, проведенными из \( A \) и \( B \).

Так как треугольник \( OAB \) - равносторонний, то все его углы равны 60 градусов. Также сторона \( OA \) равна \( OB \), потому что они являются радиусами одной и той же окружности.

Поскольку угол \( AOB \) равен 60 градусам, а сумма углов треугольника равна 180 градусам, то угол \( OAB \) равен \( \frac{180 - 60}{2} = 60 \) градусов.

Теперь давайте рассмотрим прямоугольный треугольник \( OAC \), который образуется радиусом описанной окружности и высотой треугольника \( h \).

Мы знаем, что угол \( OAC \) равен 90 градусам, так как прямоугольный треугольник.

Также мы уже выяснили ранее, что угол \( OAB \) равен 60 градусам.

Таким образом, угол \( BAC \) равен \( 180 - 90 - 60 = 30 \) градусов.

Теперь мы можем использовать тригонометрию для решения задачи.

В прямоугольном треугольнике \( OAC \), тангенс угла \( BAC \) равен отношению противолежащего катета, то есть высоты \( h \), к прилежащему катету, то есть радиусу описанной окружности \( R \).

То есть, \( \tan(30^\circ) = \frac{h}{R} \).

Мы знаем, что тангенс 30 градусов равен \( \frac{1}{\sqrt{3}} \), поэтому мы можем записать следующее уравнение:

\[ \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{R} \]

Теперь, чтобы найти высоту \( h \), домножим обе стороны уравнения на \( R \):

\[ h = \frac{R}{\sqrt{3}} \]

Таким образом, высота равностороннего треугольника, у которого радиус описанной окружности равен \( R \), равна \( \frac{R}{\sqrt{3}} \).