Какое двузначное число нужно умножить на произведение его цифр, чтобы получить трехзначное число, состоящее

Солнечная_Радуга

41

Для решения данной задачи, давайте последовательно разберем ее шаг за шагом.

1. Обозначим двузначное число, которое нужно найти, как \(AB\), где \(A\) и \(B\) — его цифры. Также обозначим результат этого умножения как число \(CCC\), где все цифры равны друг другу, и цифра в разряде единиц также равна \(B\).

2. Так как трехзначное число \(CCC\) состоит из одинаковых цифр, то оно может быть представлено как \(CCC = 111 \cdot C\), где \(C\) — эта цифра.

3. Теперь определим произведение цифр исходного числа \(AB\) как \(AB = 10 \cdot A + B\).

4. Умножив это двузначное число на произведение его цифр, получим выражение \(AB \cdot (A \cdot B) = (10 \cdot A + B) \cdot (A \cdot B)\).

5. Подставим значение трехзначного числа \(CCC\) в это выражение и получим \(111 \cdot C = (10 \cdot A + B) \cdot (A \cdot B)\).

6. Раскроем скобки и упростим уравнение: \(111 \cdot C = 10 \cdot A^2 \cdot B + A \cdot B^2\).

7. Для дальнейшего анализа, заметим, что \(111\) является произведением трех одинаковых цифр, то есть можно представить его как \(111 = 3 \cdot 37\).

8. Таким образом, уравнение примет вид: \(3 \cdot 37 \cdot C = 10 \cdot A^2 \cdot B + A \cdot B^2\).

9. Заметим, что \(3\) и \(37\) не могут быть множителями чисел \(A^2\), \(B\) и \(B^2\) одновременно, так как \(A\) и \(B\) являются цифрами от 0 до 9.

10. Получаем два варианта:

a) Если \(3\) является множителем \(A^2\), то только \(A = 3\) может удовлетворить это условие.

В этом случае, уравнение принимает вид: \(37 \cdot C = 10 \cdot 3^2 \cdot B + 3 \cdot B^2\).

b) Если \(37\) является множителем \(A^2\), это невозможно при числах от 0 до 9.

11. Рассмотрим вариант a) подробнее. Подставим значение \(A = 3\) в уравнение и продолжим упрощение: \(37 \cdot C = 90 \cdot B + 3 \cdot B^2\).

12. Отсюда видно, что \(\frac{{37 \cdot C}}{{B}}\) должно быть целым числом.

13. Рассмотрим возможные значения для \(B\): 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Подставим каждое значение в уравнение и найдем соответствующие значения для \(C\).

- При \(B = 1\): \(\frac{{37 \cdot C}}{{1}} = 37 \cdot C\). Такое равенство выполняется при \(C = 1\).
- При \(B = 2\): \(\frac{{37 \cdot C}}{{2}} = 18.5 \cdot C\). Дробное число, нет подходящего значения для \(C\).
- При \(B = 3\): \(\frac{{37 \cdot C}}{{3}} = 12.33 \cdot C\). Дробное число, нет подходящего значения для \(C\).
- При \(B = 4\): \(\frac{{37 \cdot C}}{{4}} = 9.25 \cdot C\). Дробное число, нет подходящего значения для \(C\).
- При \(B = 5\): \(\frac{{37 \cdot C}}{{5}} = 7.4 \cdot C\). Дробное число, нет подходящего значения для \(C\).
- При \(B = 6\): \(\frac{{37 \cdot C}}{{6}} = 6.17 \cdot C\). Дробное число, нет подходящего значения для \(C\).
- При \(B = 7\): \(\frac{{37 \cdot C}}{{7}} = 5.29 \cdot C\). Дробное число, нет подходящего значения для \(C\).
- При \(B = 8\): \(\frac{{37 \cdot C}}{{8}} = 4.63 \cdot C\). Дробное число, нет подходящего значения для \(C\).
- При \(B = 9\): \(\frac{{37 \cdot C}}{{9}} = 4.11 \cdot C\). Дробное число, нет подходящего значения для \(C\).

14. Таким образом, единственным подходящим значением для \(B\) является 1, а соответствующим значением для \(C\) — также 1.

15. Подставим найденные значения обратно в уравнение: \(37 \cdot 1 = 10 \cdot 3^2 \cdot 1 + 3 \cdot 1^2\).

16. Упростим это уравнение: \(37 = 90 + 3\).

17. Очевидно, данная система уравнений не имеет решений.

Таким образом, ответ на задачу — нет двузначного числа, умножив которое на произведение его цифр, можно получить трехзначное число с одинаковыми цифрами и цифрой в разряде единиц исходного числа.