Какова высота усеченного конуса, у которого образующая равна 2 см и наклонена под углом 30 градусов к плоскости

Черешня

37

Для решения данной задачи воспользуемся геометрическими свойствами усеченного конуса.

Первым шагом найдем радиусы оснований \(R_1\) и \(R_2\) усеченного конуса. Мы знаем, что образующая равна 2 см, а основание представляет собой круг. Учитывая, что образующая является гипотенузой прямоугольного треугольника, образованного радиусом основания и наклонной высотой, можем воспользоваться тригонометрией для нахождения радиуса.

\[
\tan(30^\circ) = \frac{{R_2 - R_1}}{{2}}
\]

Решим это уравнение для нахождения разности радиусов \(R_2 - R_1\):

\[
R_2 - R_1 = 2 \cdot \tan(30^\circ)
\]

Затем найдем среднюю линию \(\overline{h}\) основания усеченного конуса, которая является высотой равнобедренной трапеции с основаниями \(R_1\) и \(R_2\). Средняя линия может быть найдена следующим образом:

\[
\overline{h} = \frac{{R_1 + R_2}}{2}
\]

И, наконец, найдем высоту \(h\) усеченного конуса. Учитывая, что \(\overline{h}\) и образующая \(l\) являются гипотенузами прямоугольных треугольников, образованных высотой и радиусом основания, мы можем воспользоваться теоремой Пифагора:

\[
h = \sqrt{{l^2 - \overline{h}^2}}
\]

Теперь, имея все необходимые формулы, мы можем подставить значения и вычислить искомую высоту \(h\).

Однако, перед тем как продолжить, нам понадобится значение для \(\tan(30^\circ)\). Значение тангенса 30 градусов равно \(\frac{1}{\sqrt{3}}\).

Теперь заменим \(\tan(30^\circ)\) и выполним все необходимые вычисления:

\[
R_2 - R_1 = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}
\]

\[
\overline{h} = \frac{{R_1 + R_2}}{2}
\]

\[
h = \sqrt{{2^2 - \overline{h}^2}}
\]

Найдем значение разности радиусов:

\[
R_2 - R_1 = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1.15 \, \text{см}
\]

Теперь, зная разность радиусов, мы можем использовать формулу для нахождения средней линии:

\[
\overline{h} = \frac{{R_1 + R_2}}{2} = \frac{{1.15 + 0}}{2} = 0.575 \, \text{см}
\]

Используем значения \(\overline{h}\) и образующей \(l\) для нахождения высоты:

\[
h = \sqrt{{2^2 - \overline{h}^2}} = \sqrt{{4 - 0.575^2}} \approx 1.98 \, \text{см}
\]

Таким образом, высота усеченного конуса составляет около 1.98 см.