Какова высота здания, с учетом того, что на рисунке 1 изображена траектория камня, брошенного с крыши под углом

Lelya_5931

59

Чтобы определить высоту здания, мы можем воспользоваться законами движения тела в отсутствие сопротивления воздуха. Давайте разложим движение камня на две составляющие: вертикальное и горизонтальное.

Вертикальное движение камня можно рассмотреть с помощью уравнения положения:

\[ h(t) = h_0 + v_{0_y} t - \frac{1}{2} g t^2 \]

где
* \( h(t) \) - высота в момент времени \( t \)
* \( h_0 \) - начальная высота, равная высоте здания
* \( v_{0_y} \) - начальная вертикальная скорость камня
* \( g \) - ускорение свободного падения

Камень достигает максимальной высоты через 0,56 секунды, поэтому заменим \( t \) на 0,56 секунды в уравнении и получим:

\[ h_{max} = h_0 + v_{0_y} \cdot 0,56 - \frac{1}{2} g \cdot (0,56)^2 \]

А затем, чтобы определить высоту здания, когда камень приземляется через 2,23 секунды, заменим \( t \) на 2,23 секунды в уравнении:

\[ 0 = h_0 + v_{0_y} \cdot 2,23 - \frac{1}{2} g \cdot (2,23)^2 \]

Давайте найдем начальную вертикальную скорость камня. Для этого воспользуемся уравнением скорости:

\[ v_y = v_{0_y} - g \cdot t \]

Подставим известные значения в уравнение, используя время, когда камень достигает максимальной высоты:

\[ 0 = v_{0_y} - g \cdot 0,56 \]

Теперь мы можем решить это уравнение и найти \( v_{0_y} \):

\[ v_{0_y} = g \cdot 0,56 \]

Подставим найденные значения обратно в уравнение для высоты во время достижения максимальной высоты:

\[ h_{max} = h_0 + (g \cdot 0,56) \cdot 0,56 - \frac{1}{2} g \cdot (0,56)^2 \]

Теперь нужно найти начальную высоту \( h_0 \). Обратимся к уравнению высоты в момент приземления камня:

\[ 0 = h_0 + (g \cdot 0,56) \cdot 2,23 - \frac{1}{2} g \cdot (2,23)^2 \]

Итак, мы получили два уравнения:

\[ h_{max} = h_0 + (g \cdot 0,56) \cdot 0,56 - \frac{1}{2} g \cdot (0,56)^2 \]
\[ 0 = h_0 + (g \cdot 0,56) \cdot 2,23 - \frac{1}{2} g \cdot (2,23)^2 \]

Мы можем решить эту систему уравнений для определения высоты здания \( h_0 \).

Итак, подставим значения:

\[ h_{max} = h_0 + (10 \cdot 0,56) \cdot 0,56 - \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot (0,56)^2 \]
\[ 0 = h_0 + (10 \cdot 0,56) \cdot 2,23 - \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot (2,23)^2 \]

Теперь решим эту систему уравнений.

\[ h_{max} = h_0 + 5,6 \cdot 0,56 - \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot (0,56)^2 \]
\[ 0 = h_0 + 5,6 \cdot 2,23 - \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot (2,23)^2 \]

Вычислим значения:

\[ h_{max} = h_0 + 3,136 - \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 0,3136 \]
\[ 0 = h_0 + 12,448 - \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 4,9729 \]

Из первого уравнения получим:

\[ h_{max} = h_0 - 1,568 \]

Теперь выразим \( h_0 \) из второго уравнения:

\[ 0 = h_0 + 12,448 - 24,7295 \]
\[ h_0 = 12,2815 - 24,7295 \]
\[ h_0 = -12,448 \]

Так как высота здания не может быть отрицательной, значит, мы сделали ошибку при вычислениях.

Давайте повторим вычисления, проверим наши уравнения и значения.

\[ h_{max} = h_0 + (10 \cdot 0,56) \cdot 0,56 - \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot (0,56)^2 \]
\[ 0 = h_0 + (10 \cdot 0,56) \cdot 2,23 - \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot (2,23)^2 \]

Вычислим значения:

\[ h_{max} = h_0 + 5,6 \cdot 0,56 - \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot (0,56)^2 \]
\[ 0 = h_0 + 5,6 \cdot 2,23 - \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot (2,23)^2 \]

\[ h_{max} = h_0 + 3,136 - \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 0,3136 \]
\[ 0 = h_0 + 12,448 - \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 4,9729 \]

Из первого уравнения имеем:

\[ h_{max} = h_0 - 1,568 \]

Теперь найдем значение \( h_0 \) из второго уравнения:

\[ 0 = h_0 + 12,448 - 24,7295 \]
\[ h_0 = 24,7295 - 12,448 \]
\[ h_0 = 12,2815 \]

Таким образом, высота здания равна 12,2815 метров.

Пожалуйста, обратите внимание, что в данном решении не было учтено сопротивление воздуха, так как по условию оно не учитывается.