Какова x-координата точки касания прямой, параллельной касательной графика функции f(x) = 1/2х^2 - 4х

Муравей

18

Чтобы найти x-координату точки касания прямой, параллельной касательной графика функции \(f(x) = \frac{1}{2}x^2 - 4x - \frac{5}{9}\) и проходящей через точку (-1, y), мы должны сначала найти производную этой функции и затем использовать полученное значение для определения уравнения касательной.

Давайте начнем с нахождения производной функции \(f(x)\). Чтобы найти производную функции вида \(ax^2 + bx + c\), мы можем использовать правило дифференцирования для каждого слагаемого по отдельности:

\[
\frac{d}{dx}\left(ax^2 + bx + c\right) = 2ax + b
\]

Применяя это правило к нашей функции \(f(x)\), мы получаем:

\[
f"(x) = 2\left(\frac{1}{2}x\right) - 4 = x - 4
\]

Теперь у нас есть производная функции \(f(x)\), которую мы будем использовать для определения уравнения касательной. Мы знаем, что касательная имеет ту же наклонную линию, что и график функции в точке касания. Так как мы хотим найти точку касания прямой через точку (-1, y), мы можем использовать эту точку для построения уравнения касательной.

Формула уравнения касательной выглядит следующим образом:

\[
y - y_1 = m(x - x_1)
\]

где \((x_1, y_1)\) - это точка на графике функции \(f(x)\), а \(m\) - это наклон касательной, которую мы можем найти, подставив x-координату точки касания.

В данном случае, точка на графике функции \(f(x)\), касающаяся прямой, имеет координаты \((-1, y)\). Мы получили ранее, что \(f"(x) = x - 4\). Подставим эти значения в уравнение:

\[
y - y_1 = (x - x_1)(f"(x))
\]

\[
y - y_1 = (x - (-1))(x - 4)
\]

\[
y - y_1 = (x + 1)(x - 4)
\]

Раскроем скобки:

\[
y - y_1 = x^2 - 3x - 4
\]

Теперь у нас есть уравнение касательной для прямой, параллельной касательной графика функции \(f(x) = \frac{1}{2}x^2 - 4x - \frac{5}{9}\) и проходящей через точку (-1, y).

Теперь, чтобы найти x-координату точки касания, нам нужно найти значение x, при котором это уравнение выполняется. Подставив x-координату точки (-1, y) в уравнение, мы можем выразить y через x:

\[
y - y_1 = x^2 - 3x - 4
\]

\[
y - y_1 = (-1)^2 - 3(-1) - 4
\]

\[
y - y_1 = 1 + 3 - 4
\]

\[
y - y_1 = 0
\]

Отсюда мы видим, что y = y1. Теперь мы можем найти x, подставив значение y в исходное уравнение функции \(f(x)\):

\[
y = \frac{1}{2}x^2 - 4x - \frac{5}{9}
\]

\[
y1 = \frac{1}{2}x^2 - 4x - \frac{5}{9}
\]

Так как y = y1, мы можем заменить y1 на y:

\[
y = \frac{1}{2}x^2 - 4x - \frac{5}{9}
\]

\[
y = \frac{1}{2}x^2 - 4x - \frac{5}{9}
\]

Это квадратное уравнение, которое можно решить, используя различные методы, такие как полное квадратное уравнение, факторизация или квадратное уравнение. Я рекомендую использовать квадратное уравнение здесь. Поставим равенство нулю:

\[
\frac{1}{2}x^2 - 4x - \frac{5}{9} = 0
\]

\[
9x^2 - 72x - 5 = 0
\]

Используя квадратное уравнение, мы можем применить формулу дискриминанта:

\[
D = b^2 - 4ac
\]

где a = 9, b = -72 и c = -5. Подставляем значения:

\[
D = (-72)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-5)
\]

\[
D = 5184 + 180
\]

\[
D = 5364
\]

Теперь, используя формулу для нахождения решений квадратного уравнения:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}
\]

подставим значения:

\[
x = \frac{-(-72) \pm \sqrt{5364}}{2 \cdot 9}
\]

\[
x = \frac{72 \pm \sqrt{5364}}{18}
\]

Вычисляем квадратный корень из 5364:

\[
\sqrt{5364} \approx 73.187
\]

Подставляем значения обратно:

\[
x = \frac{72 \pm 73.187}{18}
\]

Разделим числитель на знаменатель:

\[
x_1 = \frac{72 + 73.187}{18} \approx 8.732
\]

\[
x_2 = \frac{72 - 73.187}{18} \approx -0.068
\]

Так как мы ищем только x-координату точки касания, ответом будет только \(x_1 \approx 8.732\).

Итак, x-координата точки касания прямой, параллельной касательной графика функции \(f(x) = \frac{1}{2}x^2 - 4x - \frac{5}{9}\) и проходящей через точку (-1, y), составляет приблизительно 8.732.