Какова зависимость координат двух автомобилей от времени, описываемая уравнениями x₁=10+5t и x₂=16+2t? Постройте

Сладкий_Пони

10

Для решения данной задачи, нам даны уравнения движения двух автомобилей. Уравнения выглядят следующим образом:

Автомобиль 1: \(x_1 = 10 + 5t\)
Автомобиль 2: \(x_2 = 16 + 2t\)

Здесь, \(x_1\) и \(x_2\) обозначают координаты автомобилей 1 и 2 соответственно, а \(t\) обозначает время.

Для начала, построим графики для обоих автомобилей. Для этого нужно выбрать несколько значений времени, подставить их в уравнения и вычислить соответствующие значения координат.

Выберем несколько значений времени (например, 0, 1, 2, 3, 4) и вычислим координаты для обоих автомобилей:

Для автомобиля 1:
При \(t = 0\), \(x_1 = 10 + 5 \cdot 0 = 10\)
При \(t = 1\), \(x_1 = 10 + 5 \cdot 1 = 15\)
При \(t = 2\), \(x_1 = 10 + 5 \cdot 2 = 20\)
При \(t = 3\), \(x_1 = 10 + 5 \cdot 3 = 25\)
При \(t = 4\), \(x_1 = 10 + 5 \cdot 4 = 30\)

Для автомобиля 2:
При \(t = 0\), \(x_2 = 16 + 2 \cdot 0 = 16\)
При \(t = 1\), \(x_2 = 16 + 2 \cdot 1 = 18\)
При \(t = 2\), \(x_2 = 16 + 2 \cdot 2 = 20\)
При \(t = 3\), \(x_2 = 16 + 2 \cdot 3 = 22\)
При \(t = 4\), \(x_2 = 16 + 2 \cdot 4 = 24\)

Теперь мы можем построить графики для обоих автомобилей. На горизонтальной оси отложим время \(t\), а на вертикальной оси - координаты \(x_1\) и \(x_2\).

\[
\begin{align*}
\text{График для автомобиля 1:} \\
\begin{array}{|c|c|}
\hline
t & x_1 \\
\hline
0 & 10 \\
1 & 15 \\
2 & 20 \\
3 & 25 \\
4 & 30 \\
\hline
\end{array}
\end{align*}
\]

\[
\begin{align*}
\text{График для автомобиля 2:} \\
\begin{array}{|c|c|}
\hline
t & x_2 \\
\hline
0 & 16 \\
1 & 18 \\
2 & 20 \\
3 & 22 \\
4 & 24 \\
\hline
\end{array}
\end{align*}
\]

Теперь, чтобы найти момент, когда один автомобиль догонит другой, мы должны найти время, когда координаты автомобилей равны. То есть, нужно решить уравнение \(x_1 = x_2\).

\(10 + 5t = 16 + 2t\)

Перенесем все члены с \(t\) влево и все свободные члены вправо:

\(5t - 2t = 16 - 10\)

\(3t = 6\)

Разделим обе части на 3, чтобы найти \(t\):

\(t = 2\)

Таким образом, автомобиль 1 догонит автомобиль 2 через 2 часа после начала наблюдения.

Чтобы найти координаты автомобилей в этот момент времени, мы должны подставить \(t = 2\) в уравнения движения каждого автомобиля:

Для автомобиля 1: \(x_1 = 10 + 5 \cdot 2 = 10 + 10 = 20\)
Для автомобиля 2: \(x_2 = 16 + 2 \cdot 2 = 16 + 4 = 20\)

Таким образом, координаты обоих автомобилей в момент, когда автомобиль 1 догонит автомобиль 2, равны 20.