Каково дифференциальное уравнение, описывающее изменение размера популяции во времени в замкнутой биосистеме с видом

Solnechnyy_Smayl

26

Чтобы описать изменение размера популяции во времени, мы можем использовать дифференциальное уравнение роста популяции с учетом начального размера популяции, прироста и гибели особей.

Пусть \(P(t)\) обозначает размер популяции в момент времени \(t\). Тогда для описания данной ситуации мы можем использовать следующее дифференциальное уравнение:

\(\frac{{dP}}{{dt}} = (40 \cdot P) - (5 \cdot P)\)

Подробный вывод этого уравнения будет следующим:

Прирост популяции за год составляет 40 особей на одну существующую особь, поэтому мы можем записать:

\(\frac{{dP}}{{dt}} = 40 \cdot P\)

С другой стороны, конкурентная борьба приводит к гибели 5 особей за каждую имеющуюся особь, поэтому мы можем записать:

\(\frac{{dP}}{{dt}} = -5 \cdot P\)

Объединяя эти два факта, мы получаем исходное уравнение:

\(\frac{{dP}}{{dt}} = (40 \cdot P) - (5 \cdot P)\)

Теперь, чтобы найти момент, когда популяция достигнет двукратного увеличения от исходного значения, мы знаем, что начальный размер популяции составляет 2000 особей. Пусть \(P_0\) обозначает начальный размер популяции.

Для решения данной задачи мы можем использовать метод разделения переменных. Разделяя переменные, мы получаем:

\(\frac{{dP}}{{(40 \cdot P) - (5 \cdot P)}} = dt\)

Интегрируя обе стороны уравнения, мы получаем:

\(\int{\frac{{dP}}{{(40 \cdot P) - (5 \cdot P)}}} = \int{dt}\)

\(\int{\frac{{dP}}{{35 \cdot P}}} = \int{dt}\)

\(\frac{{1}}{{35}} \cdot \ln|P| = t + C\)

Где \(C\) - постоянная интегрирования.

Далее, решим полученное уравнение относительно \(P\):

\(\ln|P| = 35 \cdot (t + C)\)

Возведем обе стороны в экспоненту:

\(e^{\ln|P|} = e^{35 \cdot (t + C)}\)

\(|P| = e^{35 \cdot (t + C)}\)

Теперь, чтобы найти конкретное значение популяции в момент времени \(t\), мы используем начальное условие \(P(0) = 2000\), где \(P(0)\) обозначает размер популяции в момент времени \(t = 0\). Подставляя это условие, мы получаем:

\(2000 = e^{35 \cdot (0 + C)}\)

\(2000 = e^{35 \cdot C}\)

Поскольку начальный размер популяции не равен нулю, мы можем игнорировать модуль. Поэтому получаем:

\(2000 = e^{35 \cdot C}\)

Для нахождения значения постоянной интегрирования \(C\) необходима дополнительная информация.

Выводящее соотношение между размером популяции и моментом времени будет выглядеть следующим образом:

\(P = e^{35 \cdot (t + C)}\)

Когда \(P\) будет равно двукратному увеличению от начального значения \(P_0\), мы можем записать:

\(2P_0 = e^{35 \cdot (t + C)}\)

Решив это уравнение относительно \(t\), мы сможем найти время, когда популяция достигнет двукратного увеличения от исходного значения. Однако, для полного решения задачи, нужна информация о значении постоянной интегрирования \(C\). Если вы предоставите это дополнительное условие, я смогу найти значение \(t\) для данной ситуации.