Каково доказательство перпендикулярности плоскостей, заданных уравнениями 2x – y + 4z – 20 = 0 и 3x – 14y – 5z

Светлячок_В_Ночи

63

Для доказательства перпендикулярности плоскостей, заданных уравнениями, мы можем воспользоваться следующими шагами:

1. Запишем два заданных уравнения плоскостей:
Плоскость A: 2x – y + 4z – 20 = 0
Плоскость B: 3x – 14y – 5z + 32 = 0

2. Для начала, найдем векторы нормали к каждой плоскости. Вектор нормали можно получить из коэффициентов перед переменными в уравнении плоскости. Так, для плоскости A вектор нормали будет иметь координаты (2, -1, 4), а для плоскости B - (3, -14, -5).

3. Теперь у нас есть два вектора нормали, давайте проверим их скалярное произведение (сумму произведений соответствующих координат векторов). Если результат равен нулю, это будет доказательством перпендикулярности плоскостей.

Проведем вычисления:
(2, -1, 4) * (3, -14, -5) = 2*3 + (-1)*(-14) + 4*(-5) = 6 + 14 - 20 = 0

Как видно, результат равен нулю. Это означает, что векторы нормали перпендикулярны и, следовательно, плоскости, заданные уравнениями, также перпендикулярны.

4. Мы можем также визуализировать это, если это поможет лучше понять. Возьмем два вектора нормали (2, -1, 4) и (3, -14, -5) и нарисуем их на координатной плоскости. Плоскость, в которой лежат эти векторы, представляет собой плоскость А. Вторая плоскость B может быть представлена другой плоскостью, пересекающей ось первой плоскости в прямом углу.

Таким образом, мы доказали перпендикулярность плоскостей A и B, заданных уравнениями 2x – y + 4z – 20 = 0 и 3x – 14y – 5z + 32 = 0.