Каково доказательство равенства длин касательных aa1 и bb1, проходящих через центры окружностей 117 o

Oblako

18

Для доказательства равенства длин касательных aa1 и bb1, проходящих через центры окружностей 117o, воспользуемся свойством вписанных углов и свойством касательных.

Пусть у нас есть две окружности, окружность A с центром O1 и окружность B с центром O2. Проведем касательные aa1 и bb1 из центров окружностей к точке касания на окружностях.

Так как aa1 и bb1 - это касательные, то они перпендикулярны радиусам, опущенным из центров окружностей в точки касания.

Теперь обратим внимание на треугольники O1Aa1 и O2Bb1. В этих треугольниках O1A и O2B - это радиусы окружностей, поскольку aa1 и bb1 проведены из центров окружностей, а O1Aa1 и O2Bb1 - это стороны треугольников.

Так как радиусы окружностей одинаковы (поскольку по условию мы имеем дело с окружностями, которые формируют 117о), то O1A = O2B.

Также обратим внимание на стороны треугольников O1Aa1 и O2Bb1. Из свойства касательных следует, что O1Aa1 = O2Bb1.

Таким образом, мы получаем, что треугольники O1Aa1 и O2Bb1 являются равнобедренными треугольниками с равными сторонами O1A = O2B и O1Aa1 = O2Bb1.

Из свойств равнобедренных треугольников следует, что соответствующие им углы также равны. Следовательно, угол O1Aa1 = угол O2Bb1.

Это значит, что треугольники O1Aa1 и O2Bb1 имеют два одинаковых угла и сторону O1A = O2B. Такие треугольники называются подобными, и из свойств подобных треугольников следует, что они равны по мере всех сторон.

Таким образом, мы доказали, что длина касательных aa1 и bb1, проведенных через центры окружностей 117о, равны.