Каково максимально возможное значение выражения 5x при условии 4x^2 + y^2 = 4x - 2y

Raduzhnyy_List_6475

63

Хорошо, начнём решать данную задачу. У нас дано уравнение \(4x^2 + y^2 = 4x - 2y\) и мы хотим найти максимальное значение выражения \(5x\).

Для начала, давайте попробуем привести уравнение к более удобному виду. Начнём с выражения \(4x^2 + y^2 = 4x - 2y\). Приравняем правую и левую части уравнения к нулю:

\[4x^2 + y^2 - 4x + 2y = 0\]

Теперь давайте попробуем преобразовать это уравнение к каноническому виду круга. Для этого нам потребуется заполнить квадраты в выражении.

Преобразуем выражение следующим образом:

\[4x^2 - 4x + y^2 + 2y = 0\]
\[4(x^2 - x) + (y^2 + 2y) = 0\]

Теперь нам нужно добавить и вычесть определённые значения, чтобы заполнить квадраты в скобках. Для этого мы можем воспользоваться следующей формулой:

\[a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2\]

В нашем случае \(a = x\) и \(b = \frac{1}{2}\). Применим эту формулу к первому слагаемому:

\[4(x^2 - x) + (y^2 + 2y) = 4(x^2 - x + \left(\frac{1}{2}\right)^2) - 4\left(\frac{1}{2}\right)^2 + (y^2 + 2y) = 4\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 - 1 + (y^2 + 2y) \]

Аналогично, применим эту формулу ко второму слагаемому:

\[4\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 - 1 + (y^2 + 2y) = 4\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 - 1 + \left(y + 1\right)^2 - 1 - 1\]

Сгруппируем слагаемые:

\[4\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \left(y + 1\right)^2 - 3 = 0\]

Теперь посмотрим на последнее выражение и задумаемся, какими условиями должны быть \(x\) и \(y\), чтобы это выражение было равно нулю. Чтобы выражение \((x - \frac{1}{2})^2\) было нулевым, значение \(x\) должно быть равно \(\frac{1}{2}\). Аналогично, чтобы \((y + 1)^2\) было нулевым, значение \(y\) должно равняться \(-1\).

Таким образом, единственная точка, при которой уравнение становится равным нулю, - это \(\left(\frac{1}{2}, -1\right)\).

Теперь, чтобы найти максимальное значение выражения \(5x\), подставим найденное значение \(x\) в это выражение:

\[5 \times \frac{1}{2} = \frac{5}{2}\]

Итак, максимальное значение выражения \(5x\) при данных условиях равно \(\frac{5}{2}\).