Каково максимальное значение функции y = 16 - x^3/x на интервале [-4;-1]?

Zvonkiy_Nindzya_7186

69

Для решения данной задачи нам необходимо найти максимальное значение функции \(y\) на заданном интервале \([-4;-1]\). Для этого следует следующим образом:

1. Найдем производную функции \(y\) по переменной \(x\):
\[ y" = \frac{d}{dx} (16 - \frac{x^3}{x})\]

2. Упростим выражение \(y"\) с помощью правил дифференцирования:
\[ y" = -3x^2 - \frac{x^3}{x^2}\]

3. Приравняем \(y"\) к нулю и решим полученное уравнение:
\[ -3x^2 - \frac{x^3}{x^2} = 0\]

4. После упрощения уравнения получаем:
\[ -3x^2 - x = 0\]

5. Разложим полученное уравнение на множители:
\[ x(-3x - 1) = 0\]

6. Из полученного выражения мы видим, что \(x = 0\) или \(-3x - 1 = 0\).

7. Если \(x = 0\), то \(y = 16 - \frac{0^3}{0} = 16\) (при \(x = 0\) функция не определена, поэтому заменяем на значение предела функции).

8. Если \(-3x - 1 = 0\), то \(x = -\frac{1}{3}\).

9. Подставим найденные значения в исходную функцию \(y\) для нахождения соответствующих значений \(y\):
- При \(x = 0\) получаем \(y = 16\).
- При \(x = -\frac{1}{3}\) получаем \(y = 16 - \frac{(-\frac{1}{3})^3}{-\frac{1}{3}}\).

10. Из полученных значений \(y\) (\(y = 16\) и \(y = \frac{143}{3}\)) выберем наибольшее значение, которое будет максимальным значением функции \(y\) на интервале \([-4;-1]\).

Таким образом, максимальное значение функции \(y = 16 - \frac{x^3}{x}\) на интервале \([-4;-1]\) равняется \(\frac{143}{3}\).