Каково максимальное значение функции y = 16 - x^3/x на интервале [-4;-1]?

Zvonkiy_Nindzya_7186

69

Для решения данной задачи нам необходимо найти максимальное значение функции $y$ на заданном интервале $[-4;-1]$. Для этого следует следующим образом:

1. Найдем производную функции $y$ по переменной $x$:
$$y"=\frac{d}{dx}(16-\frac{x^3}{x})$$

2. Упростим выражение $y"$ с помощью правил дифференцирования:
$$y"=-3x^2-\frac{x^3}{x^2}$$

3. Приравняем $y"$ к нулю и решим полученное уравнение:
$$-3x^2-\frac{x^3}{x^2}=0$$

4. После упрощения уравнения получаем:
$$-3x^2-x=0$$

5. Разложим полученное уравнение на множители:
$$x(-3x-1)=0$$

6. Из полученного выражения мы видим, что $x=0$ или $-3x-1=0$.

7. Если $x=0$, то $y=16-\frac{0^3}{0}=16$ (при $x=0$ функция не определена, поэтому заменяем на значение предела функции).

8. Если $-3x-1=0$, то $x=-\frac{1}{3}$.

9. Подставим найденные значения в исходную функцию $y$ для нахождения соответствующих значений $y$:
- При $x=0$ получаем $y=16$.
- При $x=-\frac{1}{3}$ получаем $y=16-\frac{(-\frac{1}{3}{)}^3}{-\frac{1}{3}}$.

10. Из полученных значений $y$ ($y=16$ и $y=\frac{143}{3}$) выберем наибольшее значение, которое будет максимальным значением функции $y$ на интервале $[-4;-1]$.

Таким образом, максимальное значение функции $y=16-\frac{x^3}{x}$ на интервале $[-4;-1]$ равняется $\frac{143}{3}$.