Каково максимальное значение функции y=5ln(x+5)-5x+11 в пределах интервала [-4,8]?

Пугающий_Динозавр

19

Хорошо, давайте решим данную задачу шаг за шагом.

Для начала, у нас дана функция \(y = 5\ln(x + 5) - 5x + 11\), и мы хотим найти максимальное значение этой функции в пределах интервала \([-4, 8]\).

Шаг 1: Найдем производную функции

Для того чтобы найти максимальное значение функции, мы должны найти точки экстремума (максимумы и минимумы) функции. Для этого найдем производную от данной функции по переменной \(x\).

\[y" = \frac{{d}}{{dx}}(5\ln(x + 5) - 5x + 11)\]

Применим правило дифференцирования для каждого члена отдельно:

Чтобы найти производную от функции \(\ln(x+5)\), используем правило дифференцирования для логарифма \(\ln(u)\):

\[\frac{{d}}{{dx}}(\ln(u)) = \frac{{1}}{{u}} \cdot \frac{{du}}{{dx}}\]

В нашем случае, \(u = (x+5)\), а производная \(\frac{{du}}{{dx}} = 1\). Таким образом, производная члена \(\ln(x+5)\) равна \(\frac{{1}}{{x+5}}\).

Производная от \(-5x\) будет просто -5.

И производная от константы 11 равна 0, так как производная от постоянной равна нулю.

Теперь, сложим все эти производные, чтобы получить производную \(y"\):

\[y" = \frac{{1}}{{x + 5}} - 5\]

Шаг 2: Найдем критические точки или точки экстремума

Чтобы найти критические точки, приравняем производную \(y"\) нулю и решим уравнение:

\[\frac{{1}}{{x + 5}} - 5 = 0\]

Выразим \(x\) из этого уравнения:

\[\frac{{1}}{{x + 5}} = 5\]
\[1 = 5(x + 5)\]
\[1 = 5x + 25\]
\[5x = -24\]
\[x = -\frac{{24}}{{5}}\]

Шаг 3: Определение наличия максимума

Теперь нам нужно убедиться, что найденная нами точка \(-\frac{{24}}{{5}}\) является максимумом, а не минимумом или точкой перегиба. Для этого нам нужно проанализировать знаки производной в окрестности этой точки.

Заметим, что функция \(\frac{{1}}{{x + 5}} - 5\) является отрицательной при \(x < -\frac{{24}}{{5}}\) и положительной при \(x > -\frac{{24}}{{5}}\). Поэтому, точка \(-\frac{{24}}{{5}}\) является точкой максимума.

Шаг 4: Подставим значения крайних точек интервала

Нам также нужно проверить значения функции на концах интервала \([-4, 8]\), чтобы убедиться, что нет более высоких значений функции вне найденной критической точки.

Подставим \(x = -4\) и \(x = 8\) в исходную функцию:

При \(x = -4\), \(y = 5\ln((-4) + 5) - 5(-4) + 11 = 5\ln(1) + 20 + 11 = 5\cdot0 + 20 + 11 = 31\).

При \(x = 8\), \(y = 5\ln(8 + 5) - 5(8) + 11 = 5\ln(13) - 40 + 11\).

Теперь, чтобы узнать, какое из значений \(y\) максимальное, мы сравним полученные значения в критической точке и на концах интервала: \(-\frac{{24}}{{5}}\), \(-4\) и \(8\).

Значение функции \(y\) в критической точке: \(y = 5\ln(-\frac{{24}}{{5}} + 5) - 5(-\frac{{24}}{{5}}) + 11\).

Таким образом, чтобы найти максимальное значение функции, мы сравним значения \(y\) в найденных точках: \(y = 31, y = 5\ln(13) - 40 + 11\), и \(y = 5\ln(-\frac{{24}}{{5}} + 5) - 5(-\frac{{24}}{{5}}) + 11\).