1. Какой должен быть первый член геометрической прогрессии со знаменателем 1/2, если сумма первых семи членов равна

Murchik

64

Хорошо, давайте посмотрим на каждую задачу по порядку и найдем решение.

1. Для нахождения первого члена геометрической прогрессии (а1) с известным знаменателем (q) и суммой первых семи членов (S7), мы можем использовать следующую формулу:

\[S_n = \frac{{a_1 \cdot (1 - q^n)}}{{1 - q}}\]

где \(S_n\) - сумма первых n членов, \(a_1\) - первый член, \(q\) - знаменатель.

В данном случае, у нас дано, что знаменатель равен 1/2 и сумма первых семи членов равна 161,25.

Подставим значения в формулу:

\[161.25 = \frac{{a_1 \cdot (1 - (1/2)^7)}}{{1 - 1/2}}\]

Упростим и решим уравнение:

\[322.5 = 2a_1 \cdot (1 - 1/128)\]
\[322.5 = 2a_1 \cdot (127/128)\]
\[\frac{{322.5 \cdot 128}}{{2 \cdot 127}} = a_1\]

Таким образом, первый член геометрической прогрессии равен 256.

2. Для нахождения суммы первых n членов геометрической прогрессии (Sn) с известным первым членом (b1) и знаменателем (q), мы можем использовать следующую формулу:

\[S_n = \frac{{b_1 \cdot (1 - q^n)}}{{1 - q}}\]

В данном случае, у нас дано, что первый член равен 12, знаменатель равен 1, а нам нужно найти сумму первых двадцати семи членов.

Подставим значения в формулу:

\[S_{27} = \frac{{12 \cdot (1 - 1^{27})}}{{1 - 1}}\]

Упростим и решим уравнение:

\[S_{27} = 12 \cdot 27 = 324\]

Таким образом, сумма первых двадцати семи членов геометрической прогрессии равна 324.

3. Для нахождения суммы первых n членов геометрической прогрессии (Sn) с известным первым членом (c1) и знаменателем (q), мы можем использовать следующую формулу:

\[S_n = \frac{{c_1 \cdot (1 - q^n)}}{{1 - q}}\]

В данном случае, у нас дано, что первый член равен 550, знаменатель равен -0.1, а нам нужно найти сумму первых пяти членов.

Подставим значения в формулу:

\[S_5 = \frac{{550 \cdot (1 - (-0.1)^5)}}{{1 - (-0.1)}}\]

Упростим и решим уравнение:

\[S_5 = \frac{{550 \cdot (1 - 0.00001)}}{{1.1}}\]
\[S_5 = \frac{{550 \cdot 0.99999}}{{1.1}}\]
\[S_5 \approx 499.99\]

Таким образом, сумма первых пяти членов геометрической прогрессии равна около 499.99.

4. Для нахождения суммы всех натуральных степеней числа 3 от первой до восьмой включительно, мы можем использовать формулу суммы геометрической прогрессии:

\[S_n = a \cdot \frac{{1 - q^n}}{{1 - q}}\]

где \(S_n\) - сумма первых n членов, \(a\) - первый член равный 3^1, \(q\) - знаменатель равный 3, а n равно 8.

Подставим значения в формулу:

\[S_8 = 3 \cdot \frac{{1 - 3^8}}{{1 - 3}}\]

Упростим и решим уравнение:

\[S_8 = 3 \cdot \frac{{1 - 6561}}{{-2}}\]
\[S_8 = 3 \cdot \frac{{-6560}}{{-2}}\]
\[S_8 = 3 \cdot 3280\]
\[S_8 = 9840\]

Таким образом, сумма всех натуральных степеней числа 3 от первой до восьмой включительно равна 9840.

5. Для нахождения суммы первых n членов арифметической прогрессии (Sn) с известным первым членом (a1) и разностью (d), мы можем использовать следующую формулу:

\[S_n = \frac{{n \cdot (2a_1 + (n-1) \cdot d)}}{2}\]

В данном случае, у нас дано, что первый член равен 8, разность равна -3, а нам нужно найти сумму первых пяти членов.

Подставим значения в формулу:

\[S_5 = \frac{{5 \cdot (2 \cdot 8 + (5-1) \cdot -3)}}{2}\]

Упростим и решим уравнение:

\[S_5 = \frac{{5 \cdot (16 + 4 \cdot -3)}}{2}\]
\[S_5 = \frac{{5 \cdot (16 - 12)}}{2}\]
\[S_5 = \frac{{5 \cdot 4}}{2}\]
\[S_5 = 10\]

Таким образом, сумма первых пяти членов арифметической прогрессии равна 10.

Все ответы с пошаговым решением даны, чтобы помочь вам освоить материал и позволить школьнику понять процесс решения задач. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать.