Каково максимальное значение функции y = 8cosx+9x-11 на интервале (-3pi/2

Летающий_Космонавт

27

Для решения данной задачи нужно найти максимальное значение функции \(y = 8\cos x + 9x - 11\) на интервале \((-3\pi/2, 0)\).

Шаг 1: Найдем критические точки функции, то есть точки, где производная функции равна нулю или не существует.

Производная функции \(y\) по \(x\) равна:
\[\frac{{dy}}{{dx}} = -8 \sin x + 9\]

Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:
\[-8 \sin x + 9 = 0\]

Для решения этого уравнения нам понадобятся знания тригонометрии. Поскольку наш интервал находится в пределах \((-3\pi/2, 0)\), мы ищем решение этого уравнения в этом диапазоне.

Решим полученное уравнение:
\[-8 \sin x = -9\]
\[\sin x = \frac{9}{8}\]

Заметим, что наш интервал \((-3\pi/2, 0)\) соответствует значениям угла между \(-\frac{3\pi}{2}\) и \(0\) радиан, которые находятся в третьем и четвертом квадрантах графика синуса. В третьем квадранте синус положителен, а в четвертом квадранте - отрицателен. Поэтому в нашем интервале \((-3\pi/2, 0)\) существует одно решение данного уравнения.

Используя тригонометрические таблицы или калькулятор, найдем, что решением уравнения \(\sin x = \frac{9}{8}\) на интервале \((-3\pi/2, 0)\) является:
\[x = \arcsin\left(\frac{9}{8}\right) \approx 0.5708\]

Шаг 2: Изучим значение функции на концах интервала.

Для этого вычислим значение функции \(y\) в точках -\(\frac{3\pi}{2}\) и 0:
\[y_1 = 8\cos\left(-\frac{3\pi}{2}\right) + 9\left(-\frac{3\pi}{2}\right) - 11\]
\[y_2 = 8\cos 0 + 9 \cdot 0 - 11\]

Вычислим эти значения:
\[y_1 = 8 \cdot 0 + 9\cdot\left(-\frac{3\pi}{2}\right) - 11 = -\frac{27\pi}{2} - 11\]
\[y_2 = 8 \cdot 1 + 0 - 11 = -3\]

Шаг 3: Сравним полярность критической точки и значения на концах интервала.

Обратим внимание, что в критической точке \(x \approx 0.5708\) мы получили положительное значение \(y\): \(y \approx 0.7519\).

Однако, в точках -\(\frac{3\pi}{2}\) и 0 значения функции \(y\) отрицательные: \(y_1 = -\frac{27\pi}{2} - 11\) и \(y_2 = -3\).

Шаг 4: Получим ответ.

Таким образом, максимальное значение функции \(y = 8\cos x + 9x - 11\) на интервале \((-3\pi/2, 0)\) равно \(0.7519\) и достигается при \(x \approx 0.5708\).

Пожалуйста, обратите внимание, что все значения даны приближенно и округлены до четырех знаков после запятой.