Каково математическое ожидание и дисперсия случайной величины Х, которая представляет количество заседаний, проходящих

Okean

14

Чтобы решить эту задачу, нам понадобится некоторое предварительное знание о случайных величинах и их свойствах. Давайте начнем с определения математического ожидания и дисперсии.

Математическое ожидание случайной величины Х обозначается \(E(X)\) и представляет собой среднее значение этой случайной величины. В данном случае, Х представляет количество заседаний, проходящих одновременно в случайный момент времени в суде с шестью комнатами для заседаний.

Дисперсия случайной величины Х обозначается \(Var(X)\) и измеряет разброс значений этой случайной величины относительно ее среднего значения.

Для решения задачи нам также даны статистические данные о вероятности. Однако, нам не даны точные значения вероятности, поэтому мы будем предполагать, что вероятность наличия заседания в каждой комнате одинакова и равна \(p\).

Учитывая это, давайте перейдем к решению задачи. Для нахождения математического ожидания и дисперсии, нам потребуется использовать следующие формулы:

Математическое ожидание:
\[E(X) = \sum_{i} x_iP(X = x_i)\]

Дисперсия:
\[Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2\]

Где \(x_i\) - значения случайной величины, \(P(X = x_i)\) - вероятность того, что случайная величина равна \(x_i\), \(\sum_{i}\) - сумма по всем значениям \(x_i\).

В данной задаче количество заседаний может принимать значения от 0 (если нет заседаний) до 6 (если есть заседание в каждой комнате). Таким образом, нам нужно рассмотреть все возможные значения и соответствующие вероятности.

Для удобства, давайте представим Х в виде таблицы:

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
\text{Количество заседаний (x)} & \text{Вероятность (P(X = x))} \\
\hline
0 & p^6 \\
1 & 6p^5(1-p) \\
2 & 15p^4(1-p)^2 \\
3 & 20p^3(1-p)^3 \\
4 & 15p^2(1-p)^4 \\
5 & 6p(1-p)^5 \\
6 & (1-p)^6 \\
\hline
\end{array}
\]

Теперь мы можем приступить к расчету математического ожидания и дисперсии.

Расчитаем сначала математическое ожидание:

\[E(X) = 0 \cdot p^6 + 1 \cdot 6p^5(1-p) + 2 \cdot 15p^4(1-p)^2 + 3 \cdot 20p^3(1-p)^3 + 4 \cdot 15p^2(1-p)^4 + 5 \cdot 6p(1-p)^5 + 6 \cdot (1-p)^6\]

Упростим это выражение:

\[E(X) = 0 + 6p - 12p^2 + 8p^3 + 12p - 6p^2 + (1-p)^6\]

\[E(X) = 20p^3 - 18p^2 + 18p + (1-p)^6\]

Теперь рассчитаем дисперсию:

\[E(X^2) = 0^2 \cdot p^6 + 1^2 \cdot 6p^5(1-p) + 2^2 \cdot 15p^4(1-p)^2 + 3^2 \cdot 20p^3(1-p)^3 + 4^2 \cdot 15p^2(1-p)^4 + 5^2 \cdot 6p(1-p)^5 + 6^2 \cdot (1-p)^6\]

Упростим это выражение:

\[E(X^2) = 6p - 18p^2 + 18p^3 + 36p - 54p^2 + (1-p)^6\]

\[E(X^2) = 54p^3 - 72p^2 + 42p + (1-p)^6\]

Теперь можем расчитать дисперсию:

\[Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2\]

\[Var(X) = 54p^3 - 72p^2 + 42p + (1-p)^6 - (20p^3 - 18p^2 + 18p + (1-p)^6)^2\]

\[Var(X) = 54p^3 - 72p^2 + 42p + (1-p)^6 - (400p^6 - 432p^5 + 48p^4 + 324p^5 - 324p^4 + 36p^3 + 324p^4 - 324p^3 + 36p^2 + 324p^3 - 324p^2 + 36p + (1-p)^{12})\]

\[Var(X) = 46p^6 - 108p^5 + 162p^4 - 180p^3 + 108p^2 - 36p + (1-p)^6 - (400p^6 - 432p^5 + 144p^4 - 36p^3 + 36p^2 - 36p + (1-p)^{12})\]

\[Var(X) = -354p^6 + 324p^5 + 18p^4 - 144p^3 + 72p^2\]

Таким образом, математическое ожидание и дисперсия случайной величины Х равны:

\[
E(X) = 20p^3 - 18p^2 + 18p + (1-p)^6
\]

\[
Var(X) = -354p^6 + 324p^5 + 18p^4 - 144p^3 + 72p^2
\]

Это и есть искомые значения.