Каково направление и модуль вектора вращающего момента М, если через блок диаметром D, закрепленный на оси, переброшена

Ярус_3140

16

Для решения данной задачи нам необходимо использовать основные понятия механики — вращающий момент и момент инерции.

Вращающий момент (М) определяется произведением модуля силы (F) на расстояние (r) от оси вращения до прямой, по которой действует эта сила: $M=F\cdot r$.

Момент инерции (I) зависит от конфигурации системы и является мерой инертности тела при вращении вокруг оси. Для тела, закрепленного на оси вращения на расстоянии R от центра масс, момент инерции вычисляется по формуле: $I=m\cdot R^2$, где m — масса тела, R — расстояние от оси вращения до центра масс.

В данной задаче имеется система из двух грузов, связанных нитью, и закрепленная на оси, проходящей через блок диаметром D. Поскольку рассматриваемая система находится в равновесии, сумма моментов сил относительно оси вращения равна нулю: $\mathrm{\Sigma }M=0$.

Учитывая указанные сведения, посчитаем момент инерции для данной системы. Масса блока, на который переброшена нить, не указана. Предположим, что масса блока равно m3.

Момент инерции для груза с массой m1 будет равен:
$$I_1=m_1\cdot (D/2{)}^2=3\cdot (1/2{)}^2=3/4$$

Момент инерции для груза с массой m2 будет равен:
$$I_2=m_2\cdot (D/2{)}^2$$

Поскольку два груза находятся на одинаковом расстоянии от оси вращения, их моменты инерции равны.

Таким образом, общий момент инерции системы будет равен:
$$I=2\cdot I_1+I_2=2\cdot \frac{3}{4}+m_2\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{3}{2}+\frac{m_2}{4}$$

Теперь, учитывая, что сумма моментов сил равна нулю, выразим вектор вращающего момента М через известные величины. Пусть F1 и F2 — силы, действующие на грузы m1 и m2 соответственно.

$$F_1\cdot (D/2)-F_2\cdot (D/2)=0$$

Поскольку грузы находятся в равновесии, силы F1 и F2 равны массам грузов, умноженным на ускорение свободного падения g:
$$m_1\cdot g\cdot (D/2)-m_2\cdot g\cdot (D/2)=0$$

Учитывая, что $D=1\text{м}$, ускорение свободного падения $g\approx 9.8{\text{м/с}}^2$, получаем:
$$m_1\cdot 9.8\cdot (1/2)-m_2\cdot 9.8\cdot (1/2)=0$$

Упрощая уравнение, получаем:
$$4.9\cdot m_1-4.9\cdot m_2=0$$

Разделив оба выражения на 4.9, получаем:
$$m_1-m_2=0$$

Отсюда получаем, что $m_1=m_2$.

Таким образом, если массы грузов на нити равны, то их моменты инерции и вращающий момент М равны.

Итак, направление вектора вращающего момента М будет сонаправлено с осью вращения, а его модуль будет равен $\frac{3}{2}+\frac{m_2}{4}$.