Каково отношение числа размещений 10 объектов на четырех местах к числу размещений тех же объектов на шести местах?

Звездная_Галактика_8331

32

Конечно! Для решения данной задачи мы воспользуемся формулой для числа размещений \(A_n^m\), которая определяется как произведение факториалов чисел от \(n\) до \(n-m+1\).

Для первого случая, когда у нас имеется 10 объектов и 4 места, мы будем использовать формулу для числа размещений \(A_{10}^4\). Применяя эту формулу, мы получаем следующее:

\[ A_{10}^4 = \dfrac{10!}{(10-4)!} = \dfrac{10!}{6!} \]

Теперь давайте посчитаем значение числителя и знаменателя отдельно.

Числитель \(10!\) представляет собой произведение всех целых чисел от 10 до 1:

\[ 10! = 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \]

Знаменатель \((10-4)!\) представляет собой произведение всех целых чисел от 6 до 1:

\[ 6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \]

Далее, мы можем сократить общие множители в числителе и знаменателе и провести вычисления:

\[ A_{10}^4 = \dfrac{10!}{6!} = \dfrac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times \cancel{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}}{\cancel{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}} \]

После сокращения мы получаем:

\[ A_{10}^4 = 10 \times 9 \times 8 \times 7 = 5,040 \]

Теперь перейдем ко второму случаю, когда у нас имеется 10 объектов и 6 мест. Мы будем использовать ту же формулу для числа размещений, но с измененными значениями:

\[ A_{10}^6 = \dfrac{10!}{(10-6)!} = \dfrac{10!}{4!} \]

Вычислим значение числителя и знаменателя аналогично предыдущему случаю:

Числитель \(10!\):

\[ 10! = 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \]

Знаменатель \((10-6)!\):

\[ 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 \]

Проведем сокращения:

\[ A_{10}^6 = \dfrac{10!}{4!} = \dfrac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times \cancel{4 \times 3 \times 2 \times 1}}{\cancel{4 \times 3 \times 2 \times 1}} \]

После сокращения получаем:

\[ A_{10}^6 = 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 = 151,200 \]

Итак, отношение числа размещений 10 объектов на четырех местах к числу размещений тех же объектов на шести местах равно:

\[ \dfrac{A_{10}^4}{A_{10}^6} = \dfrac{5,040}{151,200} = 0.0333... \]

Таким образом, отношение составляет приблизительно 0.0333.