Каково отношение длины отрезка AP к длине отрезка ВР в параллелограмме ABCD, если его площадь равна 120 и площадь

Moroznyy_Voin

39

Для начала рассмотрим параллелограмм ABCD:

В параллелограмме ABCD, площадь равна произведению длины одной из сторон на высоту, опущенную на эту сторону. Пусть сторона AB равна a, а высота, опущенная на неё, равна h.

Тогда площадь параллелограмма ABCD равна \(S = a \cdot h\).

Мы знаем, что площадь параллелограмма равна 120, т.е. \(S = 120\).

Введём обозначение для длины отрезка AP - пусть \(x\) будет длиной отрезка AP, а \(y\) - длиной отрезка ВР.

Также введём обозначение для высоты, опущенной на сторону AB из точки P - пусть \(h_1\) будет длиной этой высоты.

Треугольник APD является частью параллелограмма ABCD, поэтому его площадь равна произведению длины одной из сторон на высоту, опущенную на эту сторону. То есть,

\(S_{APD} = \frac{1}{2} \cdot x \cdot h_1\).

Мы также знаем, что \(S_{APD} = 40\), поэтому

\(\frac{1}{2} \cdot x \cdot h_1 = 40\).

Нам нужно найти отношение длины отрезка AP к длине отрезка ВР, т.е. \(x : y\).

Так как треугольники APD и BPC подобны (по критерию разных углов), то соответствующие стороны этих треугольников пропорциональны, и мы можем записать:

\(\frac{x}{y} = \frac{h_1}{h_2}\),

где \(h_2\) - это длина высоты, опущенной на сторону BC из точки P.

Заметим, что параллелограмм ABCD имеет две пары параллельных сторон, поэтому высоты, опущенные из точки P на стороны AB и BC, равны между собой. То есть,

\(h_1 = h_2\).

Тогда мы можем записать:

\(\frac{x}{y} = \frac{h_1}{h_2} = \frac{h_1}{h_1} = 1\).

Таким образом, отношение длины отрезка AP к длине отрезка ВР в параллелограмме ABCD равно 1:1 или просто 1.

Ответ: \(\frac{x}{y} = 1\), т.е. длина отрезка AP равна длине отрезка ВР в данном параллелограмме.