Каково отношение площади боковой поверхности конуса к площади его основания, если боковая поверхность представляет

Lyalya

11

Чтобы найти отношение площади боковой поверхности конуса к площади его основания, нам нужно подробно разобрать задачу и применить несколько математических концепций. Давайте начнем!

По условию задачи, боковая поверхность конуса представляет собой сектор с углом в 36 градусов. Для того чтобы понять, как найти площадь боковой поверхности, нам нужно вспомнить формулу для площади сектора.

Формула для площади сектора выглядит следующим образом:
\[S = \frac{\theta}{360^\circ} \cdot \pi r^2\]
где \(S\) - площадь сектора, \(\theta\) - угол сектора в градусах, \(r\) - радиус сектора.

В нашем случае, сектор представляет собой боковую поверхность конуса, поэтому на практике радиус сектора будет равен длине образующей конуса, обозначим его \(l\).

Таким образом, площадь боковой поверхности конуса равна площади сектора, поэтому мы можем записать:
\[S_{\text{бок}} = \frac{36^\circ}{360^\circ} \cdot \pi l^2\]

А площадь основания конуса выражается формулой:
\[S_{\text{осн}} = \pi r^2\]
где \(S_{\text{осн}}\) - площадь основания конуса, \(r\) - радиус основания.

В нашем случае радиус основания также равен длине образующей конуса, поэтому мы можем записать:
\[S_{\text{осн}} = \pi l^2\]

Теперь, чтобы найти отношение площади боковой поверхности к площади основания, мы поделим площадь боковой поверхности на площадь основания:
\[\frac{S_{\text{бок}}}{S_{\text{осн}}} = \frac{\frac{36^\circ}{360^\circ} \cdot \pi l^2}{\pi l^2}\]

Заметим, что \(\pi l^2\) сокращается в числителе и знаменателе, поэтому получаем:
\[\frac{S_{\text{бок}}}{S_{\text{осн}}} = \frac{36^\circ}{360^\circ}\]

Используя факт того, что \(1^\circ\) равняется \(\frac{1}{360}\) доле полного угла, мы можем записать:
\[\frac{S_{\text{бок}}}{S_{\text{осн}}} = \frac{36^\circ}{360^\circ} = \frac{1}{10}\]

Итак, отношение площади боковой поверхности конуса к площади его основания равно \(\frac{1}{10}\).