Каково отношение работы сжатия при адиабатном процессе к работе при изотермическом процессе, если объем уменьшился

Zimniy_Veter

22

Чтобы решить эту задачу, нужно знать формулы для работы \(W\) в адиабатном и изотермическом процессах, а также формулу для соотношения объемов в этих процессах.

В адиабатном процессе работа определяется следующей формулой:
\[ W_{\text{ад}} = \frac{n C_v}{\gamma - 1} (T_2 - T_1), \]
где \( n \) - количество вещества газа, \( C_v \) - удельная теплоёмкость при постоянном объеме газа, \( \gamma \) - показатель адиабаты, \( T_2 \) и \( T_1 \) - конечная и начальная температуры газа соответственно.

В изотермическом процессе работа определяется следующей формулой:
\[ W_{\text{изо}} = n R T \ln \left(\frac{V_1}{V_2}\right), \]
где \( R \) - универсальная газовая постоянная, \( T \) - температура газа, \( V_1 \) и \( V_2 \) - начальный и конечный объемы газа соответственно.

Также есть формула, которая связывает объемы в адиабатном и изотермическом процессах:
\[ \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma - 1} = \frac{T_1}{T_2}. \]

Теперь приступим к решению задачи, где объем уменьшился в три раза.

Для адиабатного процесса, \( \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma - 1} = \frac{T_1}{T_2} \).

Пусть начальный объем газа \( V_1 = 1 \).

Тогда конечный объем газа \( V_2 = \frac{V_1}{3} = \frac{1}{3} \).

Подставим \( V_1 = 1 \) и \( V_2 = \frac{1}{3} \) в формулу для адиабатного процесса и решим ее относительно \( \frac{T_2}{T_1} \):
\[ \left(\frac{1}{\frac{1}{3}}\right)^{\gamma - 1} = \frac{T_1}{T_2}. \]

Упрощаем выражение:
\[ \left(3\right)^{\gamma - 1} = \frac{T_1}{T_2}. \]

Таким образом, отношение работ в адиабатном и изотермическом процессах будет равно:
\[ \frac{W_{\text{ад}}}{W_{\text{изо}}} = \frac{\frac{n C_v}{\gamma - 1} (T_2 - T_1)}{n R T \ln \left(\frac{V_1}{V_2}\right)}. \]

Благодаря равенству \( \left(3\right)^{\gamma - 1} = \frac{T_1}{T_2} \) мы можем сократить некоторые члены в формуле:
\[ \frac{W_{\text{ад}}}{W_{\text{изо}}} = \frac{\frac{C_v}{\gamma - 1} (T_2 - T_1)}{R T \ln \left(\frac{1}{\frac{1}{3}}\right)}. \]

Упростим дальше:
\[ \frac{W_{\text{ад}}}{W_{\text{изо}}} = \frac{\frac{C_v}{\gamma - 1} (T_2 - T_1)}{R T \ln 3}. \]

В этой формуле мы видим, что отношение работ зависит от разницы температур \( (T_2 - T_1) \), показателя адиабаты \( \gamma \) и естественно logарифмической функции \( \ln 3 \).

Таким образом, чтобы получить численное значение отношения работ, мы должны знать значения температур \( T_2 \) и \( T_1 \), а также показатель адиабаты \( \gamma \). Однако, без этих данных мы не можем точно определить численное значение отношения работ.

Надеюсь, что данное объяснение помогло вам понять, как определить отношение работ сжатия при адиабатном процессе к работе при изотермическом процессе. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их. Я всегда готов помочь вам!