Каково отношение средней молярной теплоемкости процесса к универсальной газовой постоянной в случае, когда одноатомный
Каково отношение средней молярной теплоемкости процесса к универсальной газовой постоянной в случае, когда одноатомный идеальный газ совершает квазистатический процесс, заданный уравнением P = α + β·V, где α и β являются некоторыми постоянными величинами, изначально находясь в состоянии с P1 = 200 кПа и V1 = 3 л, а затем переходит в состояние с P2 = 100 кПа и V2 = 1 л? Ответ записать с точностью до десятых.
Lisichka123_8013 22
Для решения этой задачи мы будем использовать первое начало термодинамики, которое утверждает, что изменение внутренней энергии газа равно количеству тепла, переданного газу, минус работы, совершаемой над газом:\[\Delta U = Q - W\]
Также мы знаем, что изменение внутренней энергии газа можно выразить через удельную молярную теплоемкость (C), количество вещества (n) и изменение температуры (ΔT):
\[\Delta U = n \cdot C \cdot \Delta T\]
Перейдем к решению задачи.
1. Вначале найдем количество вещества газа (n) с помощью уравнения состояния идеального газа:
\[PV = nRT\]
Где P - давление, V - объем, R - универсальная газовая постоянная, T - температура газа в абсолютных единицах. Подставим известные значения:
\[P_1V_1 = nRT_1\]
\[200 \cdot 3 = n \cdot R \cdot T_1\]
\[600 = n \cdot R \cdot T_1\]
Аналогично для второго состояния:
\[P_2V_2 = nRT_2\]
\[100 \cdot 1 = n \cdot R \cdot T_2\]
\[100 = n \cdot R \cdot T_2\]
2. Теперь найдем изменение внутренней энергии газа:
\[\Delta U = n \cdot C \cdot \Delta T\]
3. Далее, работу \(W\) можно найти, используя уравнение, описывающее заданный процесс:
\[P = \alpha + \beta \cdot V\]
В случае квазистатического процесса формула работы будет выглядеть так:
\[W = \int_{V_1}^{V_2} P \cdot dV\]
Подставляя уравнение состояния газа, получим:
\[W = \int_{V_1}^{V_2} (\alpha + \beta \cdot V) \cdot dV\]
4. Теперь мы можем составить уравнение первого начала термодинамики:
\[\Delta U = Q - W\]
Поскольку это квазистатический процесс, то изменение внутренней энергии газа можно записать как:
\[\Delta U = n \cdot C \cdot \Delta T = Q\]
Подставив значения изменения внутренней энергии и работы, получим:
\[n \cdot C \cdot \Delta T = Q - \int_{V_1}^{V_2} (\alpha + \beta \cdot V) \cdot dV\]
5. Зная, что полученное изменение внутренней энергии (Q) равно n-кратной теплоемкости газа (C) умноженной на изменение температуры (ΔT), можем выразить C через известные величины:
\[C = \frac{1}{n} \int_{V_1}^{V_2} (\alpha + \beta \cdot V) \cdot dV\]
6. Отношение средней молярной теплоемкости (C) к универсальной газовой постоянной (R) равно:
\[\frac{C}{R}\]
Подставляя значение наблюдаемые ранее, получаем окончательный ответ:
\[\frac{C}{R} = \frac{\int_{V_1}^{V_2} (\alpha + \beta \cdot V) \cdot dV}{n \cdot R}\]
Теперь остается только подставить числовые значения и выполнить необходимые вычисления. Откройте свой калькулятор и замените значения \(V_1\), \(V_2\), \(\alpha\), \(\beta\), \(n\), и \(R\) для получения численного результата. Не забудьте округлить свой ответ до десятых.