Каково распределение случайной величины Z, которая представляет число попаданий стрелка в цель после трех выстрелов

Станислав

56

Чтобы понять распределение случайной величины Z в данной задаче, нужно учесть, что каждый выстрел представляет собой независимый эксперимент со случайным исходом "попадание в цель" или "промах".

Так как вероятность попадания в цель составляет 70%, то вероятность промаха будет равна 1 - 0.70 = 0.30.

Величина Z представляет собой число попаданий в цель после трех выстрелов. Она может принимать значения от 0 до 3 включительно.

Для получения распределения случайной величины Z, мы можем использовать биномиальное распределение.

Формула для вероятности получить k попаданий из n независимых испытаний, каждое из которых имеет вероятность успеха p, задается следующим образом:

\[ P(Z=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \]

Где:
- \( P(Z=k) \) - вероятность получить k попаданий
- \( n \) - общее количество испытаний (в нашем случае 3 выстрела)
- \( k \) - количество попаданий в цель (варьируется от 0 до 3)
- \( p \) - вероятность попадания в цель (0.70)
- \( (1-p) \) - вероятность промаха (0.30)
- \( \binom{n}{k} \) - биномиальный коэффициент, равный количеству способов выбрать k попаданий из n выстрелов

Теперь, когда у нас есть формула, давайте найдем вероятности для каждого возможного значения k (от 0 до 3).

Для k = 0:
\[ P(Z=0) = \binom{3}{0} \cdot 0.70^0 \cdot 0.30^{3-0} \]

Для k = 1:
\[ P(Z=1) = \binom{3}{1} \cdot 0.70^1 \cdot 0.30^{3-1} \]

Для k = 2:
\[ P(Z=2) = \binom{3}{2} \cdot 0.70^2 \cdot 0.30^{3-2} \]

Для k = 3:
\[ P(Z=3) = \binom{3}{3} \cdot 0.70^3 \cdot 0.30^{3-3} \]

Вычислив эти вероятности, мы получим распределение случайной величины Z.