Каково расстояние между вершинами тупых углов параллелограмма, когда стороны равны 90 см и 70 см, а перпендикуляр

Yaksha

21

Решение данной задачи включает применение теоремы о перпендикулярности диагоналей параллелограмма.

Первым шагом нам нужно обозначить все данные из условия задачи. Пусть \(ABCD\) — параллелограмм, где стороны \(AB\) и \(BC\) равны 90 см, а стороны \(AD\) и \(DC\) равны 70 см. Пусть точка \(E\) — точка пересечения диагоналей \(AC\) и \(BD\), а точка \(F\) — точка пересечения перпендикуляра, опущенного из вершины \(D\), и стороны \(AC\).

Теперь обратимся к условию задачи, которое говорит нам, что перпендикуляр, проведенный от вершины \(D\) к большей стороне (\(AC\)), делит эту сторону на две части, одна из которых равна 40 см. Следовательно, \(AF = 40\) см.

В параллелограмме \(ABCD\) диагонали \(AC\) и \(BD\) делятся точкой пересечения \(E\) пополам. Отсюда мы можем сделать вывод, что \(\dfrac{AE}{EC} = \dfrac{BE}{ED} = 1\).

Используя теорему о перпендикулярности диагоналей параллелограмма, мы можем утверждать, что прямоугольники, образованные на сторонах параллелограмма относительно диагоналей, являются одинаковыми. То есть, прямоугольник \(ADEF\) равен прямоугольнику \(CFBE\). Это означает, что \((AF)(AE) = (CF)(BE)\).

Мы знаем, что \(AF = 40\) см и \(AE = EC\) (так как \(E\) делит диагональ \(AC\) пополам). Пусть \(EC = x\). Тогда остается найти \(CF\) и \(BE\).

Исходя из того, что стороны \(AB\) и \(AD\) параллельны, мы можем применить подобность треугольников \(ABF\) и \(ADC\) (по двум углам) для нахождения значений \(CF\) и \(BE\).

Сделав такое предположение, получим следующие пропорции:

\[\dfrac{{AB}}{{AD}} = \dfrac{{AF}}{{AC}} = \dfrac{{BF}}{{CD}}\]
\[\dfrac{{70}}{{90}} = \dfrac{{40}}{{AC}} = \dfrac{{BF}}{{70}}\]

Мы можем решить первое уравнение относительно \(BF\):

\[\dfrac{{BF}}{{70}} = \dfrac{{70}}{{90}}\]
\[BF = \dfrac{{70}}{{90}} \times 70\]
\[BF \approx 55.56\]

Обратимся ко второму уравнению:

\[\dfrac{{40}}{{AC}} = \dfrac{{40}}{{x + 2x}} = \dfrac{{40}}{{3x}}\]

Теперь мы можем записать уравнение нашего отношения между сторонами:

\[(40)(x) = (55.56)(3x)\]

Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получаем:

\[40x = 166.68x\]
\[40x - 166.68x = 0\]
\[-126.68x = 0\]

Так как здесь нет никаких значений \(x\), которое удовлетворяло бы это уравнение, мы получаем противоречие.

Из свойств параллелограмма получаем, что треугольник \(AED\) является прямоугольным, так как его диагонали \(AE\) и \(DE\) делятся пополам.

Мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения значений \(AD\) и \(ED\). Обозначим \(AD = a\) и \(ED = b\).

Теорему Пифагора можно записать следующим образом:

\[a^2 = b^2 + 40^2\]

Мы также знаем, что \(a + b = 70\), так как это длина большей стороны параллелограмма. Теперь у нас есть система из двух уравнений:

\[\begin{cases} a^2 = b^2 + 40^2 \\ a + b = 70 \end{cases}\]

Мы можем решить эту систему уравнений, чтобы получить значения \(a\) и \(b\).

Используя второе уравнение, мы можем выразить \(b\) через \(a\):

\[b = 70 - a\]

Подставим это выражение в первое уравнение:

\[a^2 = (70 - a)^2 + 40^2\]
\[a^2 = 4900 - 140a + a^2 + 1600\]
\[0 = 6500 - 140a\]
\[140a = 6500\]
\[a = \dfrac{6500}{140}\]
\[a \approx 46.4\]

Теперь, используя второе уравнение системы, находим \(b\):

\[b = 70 - a\]
\[b = 70 - 46.4\]
\[b \approx 23.6\]

Итак, мы получили, что \(AD \approx 46.4\) см и \(ED \approx 23.6\) см.

Чтобы найти искомое расстояние между вершинами тупых углов параллелограмма, нам нужно сложить \(AD\) и \(ED\):

\[\text{Расстояние} = AD + ED \approx 46.4 + 23.6 \approx 70.0\]

Таким образом, расстояние между вершинами тупых углов параллелограмма составляет примерно 70 см.