Каково расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если длина гипотенузы прямоугольного треугольника

Magicheskiy_Kot

29

Для решения задачи, нам необходимо использовать теорему Пифагора и свойства сферы.

1. Проведем плоскость, проходящую через центр сферы и треугольник таким образом, что она будет перпендикулярна к плоскости треугольника. Обозначим эту плоскость как P.

2. Назовем центр сферы O, точку пересечения плоскости треугольника и плоскости P - точку M, вершину прямоугольного треугольника, напротив гипотенузы - точку A.

3. Для начала, вычислим длину катетов прямоугольного треугольника, используя теорему Пифагора. Поскольку гипотенуза равна 48 см, а треугольник является прямоугольным, то длина каждого катета равна \(\frac{48}{\sqrt{2}}\) (по формуле катета прямоугольного треугольника). Таким образом, каждый катет равен \(24\sqrt{2}\) см.

4. Так как вершины треугольника лежат на сфере, то радиус сферы является расстоянием от центра сферы до каждой из вершин треугольника. В нашем случае радиус сферы равен 25 см.

5. Рассмотрим прямоугольный треугольник AMO. Он также является прямоугольным, так как сторона MO перпендикулярна к гипотенузе AM и проходит через центр сферы.

6. Заметим, что катеты треугольника AMO равны половине длины катетов исходного треугольника. То есть, длина каждого катета равна \(\frac{24\sqrt{2}}{2} = 12\sqrt{2}\) см.

7. Применяя теорему Пифагора к треугольнику AMO, мы можем вычислить длину отрезка OA (расстояние от центра сферы до вершины треугольника).

\(\text{OM}^2 + \text{AM}^2 = \text{OA}^2\)

\((25^2) + (12\sqrt{2})^2 = \text{OA}^2\)

\(625 + 288 = \text{OA}^2\)

\(913 = \text{OA}^2\)

\(\text{OA} = \sqrt{913}\)

Таким образом, расстояние от центра сферы до плоскости треугольника составляет \(\sqrt{913}\) см.