Каково уравнение серединного перпендикуляра к отрезку AB, если известно, что координаты точек A и B равны A(-3;4

Николаевич_420

6

Чтобы найти уравнение серединного перпендикуляра к отрезку AB, мы должны знать координаты точек A и B и использовать геометрические свойства серединного перпендикуляра.

Давайте начнем с нахождения координат середины отрезка AB. Формула для нахождения координат середины отрезка выглядит следующим образом:

\[x_m = \dfrac {x_A + x_B}{2}\]
\[y_m = \dfrac {y_A + y_B}{2}\]

Где \(x_A\) и \(y_A\) - координаты точки A, \(x_B\) и \(y_B\) - координаты точки B, \(x_m\) и \(y_m\) - координаты середины отрезка AB.

В нашем случае, координаты точки A: \(x_A = -3\), \(y_A = 4\), а координаты точки B: \(x_B = 1\), \(y_B = -2\).

Используя формулу, мы можем найти координаты середины отрезка AB:

\[x_m = \dfrac {-3 + 1}{2} = -1\]
\[y_m = \dfrac {4 - 2}{2} = 1\]

Теперь у нас есть координаты середины отрезка AB: \((-1, 1)\).

Для нахождения уравнения серединного перпендикуляра, мы знаем, что он будет проходить через середину отрезка \((-1, 1)\) и будет иметь перпендикулярный наклон к отрезку AB. Такой наклон можно получить путем взятия отрицания обратного значения наклона отрезка AB.

Наклон отрезка AB можно найти, используя формулу:

\[m = \dfrac {y_B - y_A}{x_B - x_A}\]

Подставляя значения координат точек A и B, мы получаем:

\[m = \dfrac {-2 - 4}{1 - (-3)} = -\dfrac {6}{4} = -\dfrac {3}{2}\]

Таким образом, наклон отрезка AB равен \(-\dfrac {3}{2}\).

Для нахождения наклона серединного перпендикуляра, мы берем отрицание обратного значения:

\[m_{\perp} = -\dfrac {1}{m} = -\dfrac {1}{-\dfrac {3}{2}} = \dfrac {2}{3}\]

Теперь у нас есть наклон серединного перпендикуляра: \(\dfrac {2}{3}\).

Используя полученные значения, мы можем записать уравнение серединного перпендикуляра в общем виде \(y = mx + c\), где \(m\) - наклон и \(c\) - свободный член (y-пересечение).

Подставляя координаты середины \((-1, 1)\), мы можем найти \(c\):

\[1 = \dfrac {2}{3} \cdot (-1) + c\]
\[1 = -\dfrac {2}{3} + c\]
\[c = 1 + \dfrac {2}{3} = \dfrac {5}{3}\]

Таким образом, уравнение серединного перпендикуляра к отрезку AB будет выглядеть:

\[y = \dfrac {2}{3}x + \dfrac {5}{3}\]

Это уравнение показывает, что все точки, лежащие на серединном перпендикуляре, будут удовлетворять этому уравнению.