Каково выражение для вектора AM через векторы p, если в параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке O, точка

Крошка

68

Чтобы найти выражение для вектора AM через векторы p, нам понадобится использовать свойства параллелограмма, а именно свойство, что диагонали параллелограмма делятся пополам.

Рассмотрим вектора $\overrightarrow{OA}$ и $\overrightarrow{OM}$. Так как мы знаем, что точка M лежит на стороне BC параллелограмма, а BM=MC, то вектор $\overrightarrow{OM}$ будет направлен от точки O к точке M. Следовательно, можно представить его как сумму векторов $\overrightarrow{OB}$ и $\overrightarrow{BM}$:

$\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BM}$

Теперь рассмотрим вектор $\overrightarrow{OB}$. Поскольку AB=p и AO=q, то вектор $\overrightarrow{OB}$ можно выразить как разность векторов $\overrightarrow{OA}$ и $\overrightarrow{AB}$:

$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{AB}$

Подставляя найденное выражение для $\overrightarrow{OB}$ обратно в выражение для $\overrightarrow{OM}$, получаем:

$\overrightarrow{OM}=(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{AB})+\overrightarrow{BM}$

Так как $\overrightarrow{BM}$ равен половине $\overrightarrow{MC}$, а $\overrightarrow{MC}$ равен $\overrightarrow{AB}$, то можно сказать, что $\overrightarrow{BM}$ также равен половине $\overrightarrow{AB}$:

$\overrightarrow{BM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$

Подставляем это выражение обратно:

$\overrightarrow{OM}=(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{AB})+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$

Далее, используем свойство суммы векторов, раскрывая скобки:

$\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$

Сокращаем подобные слагаемые:

$\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$

Итак, выражение для вектора AM через векторы p будет:

$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{OA}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$

Это выражение позволяет нам выразить вектор AM через векторы p.