Каково выражение для вектора AM через векторы p, если в параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке O, точка

Крошка

68

Чтобы найти выражение для вектора AM через векторы p, нам понадобится использовать свойства параллелограмма, а именно свойство, что диагонали параллелограмма делятся пополам.

Рассмотрим вектора \(\overrightarrow{OA}\) и \(\overrightarrow{OM}\). Так как мы знаем, что точка M лежит на стороне BC параллелограмма, а BM=MC, то вектор \(\overrightarrow{OM}\) будет направлен от точки O к точке M. Следовательно, можно представить его как сумму векторов \(\overrightarrow{OB}\) и \(\overrightarrow{BM}\):

\(\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{BM}\)

Теперь рассмотрим вектор \(\overrightarrow{OB}\). Поскольку AB=p и AO=q, то вектор \(\overrightarrow{OB}\) можно выразить как разность векторов \(\overrightarrow{OA}\) и \(\overrightarrow{AB}\):

\(\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{AB}\)

Подставляя найденное выражение для \(\overrightarrow{OB}\) обратно в выражение для \(\overrightarrow{OM}\), получаем:

\(\overrightarrow{OM} = (\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{AB}) + \overrightarrow{BM}\)

Так как \(\overrightarrow{BM}\) равен половине \(\overrightarrow{MC}\), а \(\overrightarrow{MC}\) равен \(\overrightarrow{AB}\), то можно сказать, что \(\overrightarrow{BM}\) также равен половине \(\overrightarrow{AB}\):

\(\overrightarrow{BM} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AB}\)

Подставляем это выражение обратно:

\(\overrightarrow{OM} = (\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{AB}) + \frac{1}{2} \overrightarrow{AB}\)

Далее, используем свойство суммы векторов, раскрывая скобки:

\(\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AB}\)

Сокращаем подобные слагаемые:

\(\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OA} - \frac{1}{2} \overrightarrow{AB}\)

Итак, выражение для вектора AM через векторы p будет:

\(\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{OA} - \frac{1}{2} \overrightarrow{AB}\)

Это выражение позволяет нам выразить вектор AM через векторы p.