Каково значение cos(m,2n), если m=2j+j+4k, а n=-i+2j-3k?

Барон_127

10

Чтобы найти значение выражения cos(m, 2n), мы сначала вычислим значения векторов m и 2n, а затем использовать формулу для нахождения косинуса угла между ними.

Выражение m = 2j + j + 4k задает вектор m с координатами (2, 1, 4).
Выражение n = -i + 2j - 3k задает вектор n с координатами (-1, 2, -3).

Теперь мы можем вычислить 2n, умножив каждую координату вектора n на 2:
2n = 2 * (-1, 2, -3) = (-2, 4, -6).

Теперь нам нужно вычислить скалярное произведение векторов m и 2n. Скалярное произведение между двумя векторами a и b вычисляется следующим образом:
a * b = a1 * b1 + a2 * b2 + a3 * b3.

Применяя это к нашим векторам m и 2n, получим:
m * 2n = (2 * 1) + (1 * 4) + (4 * -6) = 2 + 4 - 24 = -18.

Теперь нам необходимо вычислить длины векторов m и 2n. Длина вектора a вычисляется по формуле:
|a| = sqrt(a1^2 + a2^2 + a3^2).

Применяя это к нашим векторам, получим:
|м| = sqrt(2^2 + 1^2 + 4^2) = sqrt(4 + 1 + 16) = sqrt(21).
|2n| = sqrt((-2)^2 + 4^2 + (-6)^2) = sqrt(4 + 16 + 36) = sqrt(56).

Теперь мы можем выразить косинус угла между векторами m и 2n, используя следующую формулу:
cos(m, 2n) = (m * 2n) / (|m| * |2n|).

Подставляя значения, которые мы рассчитали, получим:
cos(m, 2n) = -18 / (sqrt(21) * sqrt(56)).

Теперь мы можем упростить это выражение. Мы можем заметить, что sqrt(21) * sqrt(56) = sqrt(21 * 56) = sqrt(1176) = 34.26 (округленно).

Используя это, выражение выглядит следующим образом:
cos(m, 2n) = -18 / 34.26 = -0.525 (округленно).

Таким образом, значение cos(m, 2n) равно примерно -0.525.