Каково значение ctg α, если sin α = -4/5, π < α < π/2?

Ledyanoy_Podryvnik

64

Конечно! Для решения этой задачи, давайте вспомним определение котангенса. Котангенс (ctg) угла α выражается как отношение косинуса α к синусу α:

\[\text{ctg α} = \frac{\cos α}{\sin α}\]

В данной задаче нам уже дано значение синуса α, равное -4/5. Однако, перед тем, как решить задачу, нам нужно узнать, какие значения принимает синус α в заданном диапазоне.

Исходя из ограничений задачи, π < α < π/2, мы знаем, что угол α находится во втором квадранте. Во втором квадранте значения синуса α всегда отрицательны. Поэтому, значение синуса α = -4/5, которое дано в задаче, подходит для нашего диапазона.

Теперь мы можем найти значение косинуса α. Для этого воспользуемся тригонометрической теоремой Пифагора:

\[\sin^2 α + \cos^2 α = 1\]

Подставляем значение синуса α:

\[\left(-\frac{4}{5}\right)^2 + \cos^2 α = 1\]

\[\frac{16}{25} + \cos^2 α = 1\]

Теперь находим значение косинуса α:

\[\cos^2 α = 1 - \frac{16}{25}\]

\[\cos^2 α = \frac{9}{25}\]

Так как угол α находится во втором квадранте, то значения косинуса α всегда отрицательны. Поэтому, выбираем отрицательный корень:

\[\cos α = -\frac{3}{5}\]

Теперь мы можем найти значение котангенса α, используя определение:

\[\text{ctg α} = \frac{\cos α}{\sin α} = \frac{-\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}} = \frac{3}{4}\]

Таким образом, значение котангенса α при условии sin α = -4/5, π < α < π/2 равно 3/4.