Каково значение производной f x для функции f x = x cos2x?

Pugayuschiy_Shaman

60

Чтобы найти значение второй производной \(f""(x)\) для функции \(f(x) = x \cos^2(x)\), мы можем применить правило дифференцирования два раза.

Итак, начнем с первой производной \(f"(x)\). Чтобы найти \(f"(x)\), мы используем правило производной произведения и цепного правила дифференцирования. Применим эти правила по очереди.

1. Найдем производную \(f"(x)\) функции \(g(x) = x\) и \(h(x) = \cos^2(x)\):

Правило производной произведения: \((g \cdot h)" = g" \cdot h + g \cdot h"\)

\(g"(x) = 1\) (производная \(x\) по \(x\) равна 1)

\(h"(x) = 2\cos(x) \cdot (-\sin(x))\) (производная \(\cos^2(x)\) по \(x\) с использованием цепного правила и производной \(\cos(x)\))

\[f"(x) = g"(x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h"(x) = 1 \cdot \cos^2(x) + x \cdot 2\cos(x)(-\sin(x))\]

2. Теперь у нас есть первая производная \(f"(x)\), и мы должны найти вторую производную \(f""(x)\). Для этого мы снова применим правило дифференцирования к \(f"(x)\):

\[f""(x) = (f"(x))" = (\cos^2(x) + 2x\cos(x)(-\sin(x)))"\]

Применим правило производной произведения:

\[f""(x) = (\cos^2(x))" + (2x\cos(x)(-\sin(x)))"\]

\((\cos^2(x))" = 2\cos(x)(-\sin(x))\) (производная \(\cos^2(x)\) по \(x\) с помощью цепного правила и производной \(\cos(x)\))

\((2x\cos(x)(-\sin(x)))" = 2\cos(x)(-\sin(x)) + 2\cos(x)(-\sin(x)) + 2x(-\sin(x))(-\sin(x))\) (производная \(2x\cos(x)(-\sin(x))\) по \(x\) с использованием правила производной произведения)

Теперь можем объединить полученные результаты:

\[f""(x) = 2\cos(x)(-\sin(x)) + 2\cos(x)(-\sin(x)) + 2x(-\sin(x))(-\sin(x))\]

\[f""(x) = 4\cos(x)(-\sin(x)) - 2x\sin^2(x)\]

Итак, значение второй производной \(f""(x)\) для функции \(f(x) = x \cos^2(x)\) равно \(4\cos(x)(-\sin(x)) - 2x\sin^2(x)\).