Каково значение производной f x для функции f x = x cos2x?

Pugayuschiy_Shaman

60

Чтобы найти значение второй производной $f""(x)$ для функции $f(x)=x{\cos }^2(x)$, мы можем применить правило дифференцирования два раза.

Итак, начнем с первой производной $f"(x)$. Чтобы найти $f"(x)$, мы используем правило производной произведения и цепного правила дифференцирования. Применим эти правила по очереди.

1. Найдем производную $f"(x)$ функции $g(x)=x$ и $h(x)={\cos }^2(x)$:

Правило производной произведения: $(g\cdot h)"=g"\cdot h+g\cdot h"$

$g"(x)=1$ (производная $x$ по $x$ равна 1)

$h"(x)=2\cos (x)\cdot (-\sin (x))$ (производная ${\cos }^2(x)$ по $x$ с использованием цепного правила и производной $\cos (x)$)

$$f"(x)=g"(x)\cdot h(x)+g(x)\cdot h"(x)=1\cdot {\cos }^2(x)+x\cdot 2\cos (x)(-\sin (x))$$

2. Теперь у нас есть первая производная $f"(x)$, и мы должны найти вторую производную $f""(x)$. Для этого мы снова применим правило дифференцирования к $f"(x)$:

$$f""(x)=(f"(x))"=({\cos }^2(x)+2x\cos (x)(-\sin (x)))"$$

Применим правило производной произведения:

$$f""(x)=({\cos }^2(x))"+(2x\cos (x)(-\sin (x)))"$$

$({\cos }^2(x))"=2\cos (x)(-\sin (x))$ (производная ${\cos }^2(x)$ по $x$ с помощью цепного правила и производной $\cos (x)$)

$(2x\cos (x)(-\sin (x)))"=2\cos (x)(-\sin (x))+2\cos (x)(-\sin (x))+2x(-\sin (x))(-\sin (x))$ (производная $2x\cos (x)(-\sin (x))$ по $x$ с использованием правила производной произведения)

Теперь можем объединить полученные результаты:

$$f""(x)=2\cos (x)(-\sin (x))+2\cos (x)(-\sin (x))+2x(-\sin (x))(-\sin (x))$$

$$f""(x)=4\cos (x)(-\sin (x))-2x{\sin }^2(x)$$

Итак, значение второй производной $f""(x)$ для функции $f(x)=x{\cos }^2(x)$ равно $4\cos (x)(-\sin (x))-2x{\sin }^2(x)$.