Каково значение ширины бесконечно глубокой одномерной потенциальной ямы, если минимальная энергия частицы составляет?

Paryaschaya_Feya

46

Чтобы решить данную задачу, нам необходимо использовать уравнение Шрёдингера для потенциальной ямы. Уравнение Шрёдингера в одномерном случае имеет вид:

\[-\frac{{\hbar^2}}{{2m}}\frac{{d^2\psi}}{{dx^2}} + V(x)\psi = E\psi\]

где \(\hbar\) - пониженная постоянная Планка, \(m\) - масса частицы, \(\psi\) - волновая функция частицы, \(V(x)\) - потенциальная энергия, \(E\) - энергия частицы.

Для бесконечно глубокой потенциальной ямы, \(V(x)\) принимает константное значение внутри ямы и бесконечность вне её. Таким образом, уравнение Шрёдингера принимает вид:

\[-\frac{{\hbar^2}}{{2m}}\frac{{d^2\psi}}{{dx^2}} = E\psi\]

Для каждой области в потенциальной яме уравнение может быть решено отдельно. Поскольку вне ямы потенциальная энергия равна бесконечности, волновая функция вне ямы должна быть равна нулю.

Внутри ямы, где потенциальная энергия равна нулю, уравнение Шрёдингера принимает вид:

\[\frac{{d^2\psi}}{{dx^2}} = -\frac{{2mE}}{{\hbar^2}}\psi\]

Это уравнение является уравнением Гельмгольца и его общее решение имеет вид:

\[\psi(x) = A\sin(kx) + B\cos(kx)\]

где \(A\) и \(B\) - произвольные константы, \(k = \sqrt{\frac{{2mE}}{{\hbar^2}}}\) - волновое число.

Для определения значения \(k\) и решения уравнения Шрёдингера внутри ямы, нам необходимо использовать граничные условия. Для бесконечно глубокой потенциальной ямы, волновая функция должна быть непрерывной внутри ямы и равной нулю вне неё.

Таким образом, волновая функция \(\psi(x)\) равна нулю при \(x = 0\) и \(x = L\), где \(L\) - ширина ямы.

Подставляя эти условия в решение уравнения Гельмгольца, получаем:

\[\psi(0) = B\cos(0) = B = 0\]

\[\psi(L) = A\sin(kL) = 0\]

Это условие позволяет нам определить возможные значения \(k\) в виде:

\[kL = n\pi\]

где \(n\) - целое число.

Из этого условия можно выразить значения энергии \(E\) в виде:

\[E = \frac{{n^2\pi^2\hbar^2}}{{2mL^2}}\]

Теперь мы можем ответить на вашу задачу. Вы хотите найти значение ширины ямы \(L\), при котором минимальная энергия частицы \(\min(E)\) равна заданному значению.

Чтобы найти такое значение \(L\), нам нужно решить следующее уравнение:

\[\min(E) = \frac{{\pi^2\hbar^2}}{{2mL^2}}\]

Переупорядочивая это уравнение, мы можем найти значение \(L\) следующим образом:

\[L^2 = \frac{{\pi^2\hbar^2}}{{2m\min(E)}}\]

Таким образом, значение ширины бесконечно глубокой одномерной потенциальной ямы равно \(\sqrt{\frac{{\pi^2\hbar^2}}{{2m\min(E)}}}\).

Но обратите внимание, что для окончательного ответа нам нужны значения \(\hbar\), \(m\) и \(\min(E)\), которые вы не указали. Пожалуйста, предоставьте недостающую информацию, чтобы мы могли дать вам точный ответ.